Упр.1357 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть медианы AE,BD и CF пересекаются в точке O, по свойству медиан OA=2OE,OB=2OD и OC=2OF, тогда при гомотетии с центром в точке O и k=-1/2, треугольник ABC>треугольник DEF, значит окружность, описанная около треугольник ABC, переходит в окружность, описанную около треугольник DEF, а R=2r,что и требовалось доказать.

Пусть $$D,$$ $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AC,$$ $$BC$$ и $$AB$$ соответственно. Тогда $$AE,$$ $$BD$$ и $$CF$$ — медианы треугольника $$ABC$$, а их точка пересечения $$O$$ является центром тяжести.

По свойству центра тяжести медианы делятся точкой пересечения в отношении $$2:1$$, считая от вершины, то есть

$$OA=2OE,\quad OB=2OD,\quad OC=2OF.$$

Следовательно, при гомотетии с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k=-\frac12$$ точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ переходят соответственно в точки $$E,$$ $$D,$$ $$F$$. Значит, треугольник $$ABC$$ переходит в треугольник $$EDF$$, а его описанная окружность — в окружность, описанную около треугольника $$DEF$$.

При гомотетии все линейные размеры уменьшаются в $$\frac12$$ раза, поэтому радиус описанной окружности уменьшается в $$2$$ раза. Если $$R$$ — радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC,$$ а $$r$$ — радиус окружности, описанной около треугольника $$DEF,$$ то

$$r=\frac{R}{2},$$

откуда

$$R=2r.$$

Ответ

$$R=2r.$$