Упр.1357 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Используя гомотетию с центром в точке пересечения медиан треугольника $$ABC$$, докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, в 2 раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника с вершинами в серединах сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$.

Пусть медианы $$AE$$, $$BD$$ и $$CF$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда точка $$O$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, то есть

$$OA=2OE,\quad OB=2OD,\quad OC=2OF.$$

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k=-\frac12$$. При этой гомотетии вершины треугольника $$ABC$$ переходят в середины его сторон:

$$A\mapsto E,\quad B\mapsto D,\quad C\mapsto F.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ переходит в треугольник $$DEF$$. При гомотетии все расстояния уменьшаются в $$2$$ раза, значит и радиус описанной окружности уменьшается в $$2$$ раза:

$$r=\frac{R}{2}.$$

Отсюда

$$R=2r.$$

Значит, радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, в $$2$$ раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника $$DEF$$.