Упр.1356 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Углы угол NMO=угол OPQ и угол MNO=угол OQP,как накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и PQ и секущих MP и QN, значит треугольник MON~треугольник POQ,отсюда следует OQ=kON и OP=kOM, тогда при гомотетии с центром в точке O, окружность OMN переходит в окружность OPQ, то есть они имеют общую касательную в точке O, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Рассмотрим трапецию $$MNPQ$$, у которой $$MN \parallel PQ$$, а диагонали $$MP$$ и $$NQ$$ пересекаются в точке $$O$$.

Так как $$MN \parallel PQ$$, то при секущих $$MP$$ и $$NQ$$ получаем:

$$\angle NMO=\angle OPQ,$$

$$\angle MNO=\angle OQP.$$

Следовательно, $$\triangle MNO \sim \triangle POQ$$.

Из подобия треугольников имеем

$$\frac{ON}{OQ}=\frac{OM}{OP},$$

откуда существует коэффициент $$k$$ такой, что

$$OQ=k\cdot ON,\qquad OP=k\cdot OM.$$

Значит, при гомотетии с центром в точке $$O$$ окружность, описанная около треугольника $$MNO$$, переходит в окружность, описанную около треугольника $$PQO$$.

При этом точка $$O$$ остаётся неподвижной, а соответствующие окружности касаются в этой точке. Следовательно, окружности, описанные около треугольников $$MNO$$ и $$PQO$$, имеют общую касательную в точке $$O$$.