Упр.1356 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

В трапеции с основаниями $$MN$$ и $$PQ$$ диагонали $$MP$$ и $$NQ$$ пересекаются в точке $$O$$. Используя предыдущую задачу, докажите, что окружности, описанные около треугольников $$MNO$$ и $$PQO$$, имеют общую касательную в точке $$O$$.

Так как $$MN \parallel PQ,$$ то при секущих $$MP$$ и $$NQ$$ получаем

$$\angle NMO=\angle OPQ,\qquad \angle MNO=\angle OQP.$$

Следовательно, $$\triangle MNO \sim \triangle POQ.$$

Из подобия треугольников имеем

$$\frac{OM}{OP}=\frac{ON}{OQ},$$

то есть существует гомотетия с центром в точке $$O,$$ переводящая точку $$M$$ в точку $$P,$$ а точку $$N$$ — в точку $$Q.$$ Значит, окружность, описанная около треугольника $$MNO,$$ переходит в окружность, описанную около треугольника $$POQ.$$

При такой гомотетии касательная в точке $$O$$ переходит в касательную в точке $$O,$$ поэтому обе окружности имеют общую касательную в точке $$O.$$