Упр.1355 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть окружность с центром в точке A, при гомотетии с центром в точке O, переходит в окружность с центром в точке B, тогда точка B принадлежит прямой OA, через точку O проходят обе окружности, r=OB и R=OA, при k>0 имеем AB=OA-OB=R-r,а при k<0 имеем AB=OA+OB=R+r, в каждом случае окружности касаются в точке O, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть окружность с центром в точке $$A$$ при гомотетии с центром в точке $$O$$ переходит в окружность с центром в точке $$B$$.

Так как центр гомотетии $$O$$ лежит на данной окружности, то точка $$O$$ принадлежит и образу этой окружности. Значит, обе окружности проходят через точку $$O$$.

Кроме того, при гомотетии центр образа лежит на прямой, проходящей через центр гомотетии и исходный центр, поэтому точки $$A$$, $$O$$, $$B$$ лежат на одной прямой.

Обозначим $$OA=R$$, $$OB=r$$. Тогда:

при $$k>0$$ точки $$A$$ и $$B$$ лежат по одну сторону от точки $$O$$, и потому $$AB=OA-OB=R-r$$;
при $$k<0$$ точки $$A$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от точки $$O$$, и потому $$AB=OA+OB=R+r$$.

В обоих случаях расстояние между центрами равно либо разности радиусов, либо их сумме. Следовательно, окружности касаются в точке $$O$$.

Общая касательная в точке касания проходит через точку $$O$$, значит, данная окружность и её образ при гомотетии имеют в точке $$O$$ общую касательную.