Упр.1355 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть центр гомотетии О лежит на данной окружности. Докажите, что данная окружность и та, в которую она переходит при гомотетии с центром в точке О, имеют в точке О общую касательную.

Подробный ответ

Пусть окружность с центром в точке $$A$$ при гомотетии с центром в точке $$O$$ переходит в окружность с центром в точке $$B$$. Тогда точка $$B$$ лежит на прямой $$OA$$.

Так как центр гомотетии $$O$$ лежит на данной окружности, то через точку $$O$$ проходят обе окружности. Обозначим их радиусы через $$R$$ и $$r$$. Тогда $$R=OA$$, $$r=OB$$.

Рассмотрим два случая.

Если $$k>0$$, то точки $$A$$ и $$B$$ лежат по одну сторону от точки $$O$$, поэтому $$AB=OA-OB=R-r$$.
Если $$k<0$$, то точки $$A$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от точки $$O$$, поэтому $$AB=OA+OB=R+r$$.

В обоих случаях расстояние между центрами окружностей равно либо разности радиусов, либо их сумме. Значит, окружности касаются в точке $$O$$, а их общая касательная проходит через точку $$O$$.

Ответ: окружности имеют в точке $$O$$ общую касательную.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

4.3 / 5

Другие учебники