Упр.1354 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точка M лежит между A и B, тогда точка M_1 лежит между A_1 и B_1,для точек A,B и M верно равенство AM=BM, при гомотетии с коэффициентом k выполняется AM=kA_1 M_1 и BM=kB_1 M_1,то есть kA_1 M_1=kB_1 M_1 или A_1 M_1=B_1 M_1, точка M_1-середина A_1 B_1,что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть при гомотетии точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, а отрезок $$AB$$ переходит в отрезок $$A_1B_1$$. Тогда точка $$M$$ переходит в точку $$M_1$$, причём точки $$A_1, M_1, B_1$$ лежат на одной прямой, а $$M_1$$ находится между $$A_1$$ и $$B_1$$.

Так как $$M$$ — середина $$AB$$, то

$$AM=BM.$$

При гомотетии с коэффициентом $$k$$ длины соответствующих отрезков изменяются в $$k$$ раз, значит

$$AM=kA_1M_1,\qquad BM=kB_1M_1.$$

Из равенства $$AM=BM$$ получаем

$$kA_1M_1=kB_1M_1,$$

откуда

$$A_1M_1=B_1M_1.$$

Следовательно, точка $$M_1$$ равноудалена от точек $$A_1$$ и $$B_1$$, то есть является серединой отрезка $$A_1B_1$$.