Упр.1353 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пусть при некоторой гомотетии точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ переходят соответственно в точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$. Докажите, что если точка $$B$$ лежит между точками $$A$$ и $$C$$, то точка $$B_1$$ лежит между точками $$A_1$$ и $$C_1$$.

Точка $$B$$ принадлежит прямой $$AC$$, значит, при гомотетии точка $$B_1$$ принадлежит прямой $$A_1C_1$$.

Так как $$B$$ лежит между $$A$$ и $$C$$, то

$$AC=AB+BC.$$

При гомотетии все расстояния умножаются на один и тот же коэффициент $$k$$, поэтому

$$AC=kA_1C_1,\quad AB=kA_1B_1,\quad BC=kB_1C_1.$$

Подставим это в равенство $$AC=AB+BC$$:

$$kA_1C_1=kA_1B_1+kB_1C_1.$$

Если $$k\neq 0$$, разделим обе части на $$k$$:

$$A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1.$$

Это означает, что точка $$B_1$$ лежит между точками $$A_1$$ и $$C_1$$.

Ответ: точка $$B_1$$ лежит между $$A_1$$ и $$C_1$$.