Упр.135 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ отрезки $$CO$$ и $$C_1O_1$$ — медианы, $$BC = B_1C_1$$, угол $$B =$$ угол $$B_1$$ и угол $$C =$$ угол $$C_1$$. Докажите, что:
   а) $$\triangle ACO = \triangle A_1C_1O_1$$;
   б) $$\triangle BCO = \triangle B_1C_1O_1$$.
2. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.

Рассмотрим два случая.

1. Если даны треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$

Так как треугольники равносторонние, то

$$AB=BC=AC,$$

$$A_1B_1=B_1C_1=A_1C_1.$$

По условию $$AB=A_1B_1$$. Тогда из равенства сторон равносторонних треугольников получаем

$$BC=B_1C_1,\qquad AC=A_1C_1.$$

Следовательно, у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны все три стороны, значит,

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$

2. Если нужно доказать равенство треугольников с медианами

Пусть $$CO$$ и $$C_1O_1$$ — медианы. Тогда точки $$O$$ и $$O_1$$ — середины сторон $$AB$$ и $$A_1B_1$$ соответственно, поэтому

$$AO=\frac{1}{2}AB,\qquad BO=\frac{1}{2}AB,$$

$$A_1O_1=\frac{1}{2}A_1B_1,\qquad B_1O_1=\frac{1}{2}A_1B_1.$$

Из равенства $$AB=A_1B_1$$ следует, что

$$AO=A_1O_1,\qquad BO=B_1O_1.$$

Кроме того, из равенства равносторонних треугольников уже получено

$$AC=A_1C_1,\qquad BC=B_1C_1.$$

Тогда:

1) в треугольниках $$ACO$$ и $$A_1C_1O_1$$

$$AC=A_1C_1,\qquad AO=A_1O_1,\qquad \angle CAO=\angle C_1A_1O_1,$$

поэтому

$$\triangle ACO \cong \triangle A_1C_1O_1.$$

2) в треугольниках $$BCO$$ и $$B_1C_1O_1$$

$$BC=B_1C_1,\qquad BO=B_1O_1,\qquad \angle CBO=\angle C_1B_1O_1,$$

поэтому

$$\triangle BCO \cong \triangle B_1C_1O_1.$$

Таким образом, требуемое доказано.