Упр.1348 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан треугольник $$ABC$$. Постройте треугольник $$A_1B_1C_1$$, подобный треугольнику $$ABC$$, площадь которого в $$2$$ раза больше площади треугольника $$ABC$$.

Пусть $$\triangle DEF$$ — прямоугольный, причём $$DE=EF$$. Тогда его площадь равна

$$S_{DEF}=\frac12\cdot DE\cdot EF=\frac12\cdot DE^2.$$

Так как $$DE=EF$$, то диагональ $$DF$$ является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника, значит

$$DF=DE\sqrt2.$$

По построению на прямой $$AB$$ отложены отрезки $$AG=DE$$ и $$AH=DF$$, поэтому

$$\frac{AH}{AG}=\frac{DF}{DE}=\sqrt2.$$

Проведём через точку $$H$$ прямую, параллельную $$CG$$, и обозначим её пересечение с лучом $$AC$$ точкой $$C_1$$. Тогда треугольники $$AHC_1$$ и $$AGC$$ подобны, откуда

$$\frac{AC_1}{AC}=\frac{AH}{AG}=\sqrt2.$$

Значит, коэффициент подобия треугольников $$A B C$$ и $$A B_1 C_1$$ равен $$\sqrt2$$, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}=(\sqrt2)^2=2.$$

Следовательно, построенный треугольник $$A_1B_1C_1$$ подобен треугольнику $$ABC$$ и имеет площадь, в 2 раза большую площади $$\triangle ABC$$.