Упр.1347 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 416 $$ABCD$$ — параллелограмм. По данным этого рисунка найдите отношение площадей: а) треугольников $$DPQ$$ и $$APB$$; б) треугольников $$DPQ$$ и $$CBQ$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB \parallel DC$$, а также $$AP$$ и $$PB$$ пересекают эти параллельные прямые.

Рассмотрим треугольники $$DPQ$$ и $$APB$$.

У них:

• $$\angle DPQ = \angle APB$$ — вертикальные;
• $$\angle DQP = \angle ABP$$ — накрест лежащие при $$AB \parallel DC$$.

Следовательно, $$\triangle DPQ \sim \triangle APB$$.

Коэффициент подобия равен

$$k=\frac{DQ}{AB}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}.$$

Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{DPQ}}{S_{APB}}=k^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9},$$

значит,

$$S_{DPQ}:S_{APB}=1:9.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$DPQ$$ и $$CBQ$$.

Они подобны, так как:

• $$\angle DQP = \angle CQB$$ — вертикальные;
• $$\angle DPQ = \angle CBQ$$ — накрест лежащие при $$AB \parallel DC$$.

Коэффициент подобия:

$$k=\frac{DQ}{CQ}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$\frac{S_{DPQ}}{S_{CBQ}}=k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4},$$

то есть

$$S_{DPQ}:S_{CBQ}=1:4.$$

Ответ: а) $$1:9$$; б) $$1:4$$.