Упр.1343 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. При данном движении каждая из вершин треугольника $$ABC$$ отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.

Предположим, что при данном движении существует точка $$D$$ плоскости, которая переходит в точку $$D_1\neq D$$.

Так как точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ переходят сами в себя, то треугольник $$ABC$$ при движении переходит в равный ему треугольник $$ABC$$. Следовательно, расстояния от точки $$D$$ до точек $$A$$, $$B$$, $$C$$ сохраняются, то есть образ точки $$D_1$$ должен удовлетворять тем же условиям.

Но если $$D\neq D_1$$, то получаем, что при движении точка $$D$$ переходит в другую точку, а значит, плоскость отображается на себя не тождественно. Это противоречит тому, что все три вершины треугольника $$ABC$$ остаются неподвижными: движение, сохраняющее три точки, не может переводить какую-либо другую точку в отличную от неё точку.

Следовательно, предположение неверно. Значит, любая точка плоскости отображается на себя.