Упр.1341 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В треугольнике ABC отметим середины A_1,B_1 и C_1 всех сторон, также на отрезке AA_1 отметим точку M, которая делит его в отношении 2:1,считая от точки A, как было доказано в предыдущей задаче, при гомотетии с центром в точке M и коэффициентом k=-1/2,точка B переходит в точку B_1,а точка C>C_1,значит медианы треугольника пересекаются в точке M, которая делит их в отношении 2:1,считая от вершины, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$, $$CA$$ и $$AB$$ соответственно. На медиане $$AA_1$$ отметим точку $$M$$ так, чтобы

$$AM:MA_1=2:1.$$

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$k=-\frac12$$. По предыдущей задаче при такой гомотетии точка $$B$$ переходит в середину отрезка $$CA$$, то есть в точку $$B_1$$, а точка $$C$$ — в середину отрезка $$AB$$, то есть в точку $$C_1$$.

Значит, прямые $$BB_1$$ и $$CC_1$$ проходят через точку $$M$$. Но $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — это медианы треугольника $$ABC$$, следовательно, они пересекаются в точке $$M$$. Так как точка $$M$$ лежит и на медиане $$AA_1$$, то все три медианы пересекаются в одной точке.

Кроме того, из построения точки $$M$$ на медиане $$AA_1$$ имеем

$$AM:MA_1=2:1.$$

Аналогично для двух других медиан получаем, что точка их пересечения делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины.