Упр.1341 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Пользуясь предыдущей задачей, докажите теорему о точке пересечения медиан треугольника: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Обозначим через $$A_1,$$ $$B_1$$ и $$C_1$$ середины его сторон $$BC,$$ $$CA$$ и $$AB$$ соответственно.
На медиане $$AA_1$$ отметим точку $$M$$ так, чтобы $$AM:MA_1=2:1$$.
По предыдущей задаче при гомотетии с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$k=-\frac12$$ точка $$B$$ переходит в точку $$B_1,$$ а точка $$C$$ — в точку $$C_1$$. Значит, прямая $$BC$$ переходит в прямую $$B_1C_1,$$ то есть $$B_1C_1 \parallel BC$$. Аналогично получаем, что $$A_1C_1 \parallel AC$$ и $$A_1B_1 \parallel AB$$.
Следовательно, точки $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ являются серединами сторон треугольника, а отрезки $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ проходят через одну и ту же точку $$M$$. Значит, три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Кроме того, точка $$M$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1,$$ считая от вершины, так как по построению $$AM:MA_1=2:1$$, и аналогично для остальных медиан.
