Упр.1340 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть $$M$$ — точка, делящая медиану $$AA_1$$ треугольника $$ABC$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины, $$B_1$$ — середина стороны $$AC$$ треугольника. Докажите, не используя свойство медиан, что при гомотетии с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$k=-\frac{1}{2}$$ отрезок $$AB$$ переходит в отрезок $$A_1B_1$$, причём точка $$A$$ переходит в точку $$A_1$$, а точка $$B$$ — в точку $$B_1$$.

Подробный ответ

Так как $$A_1B_1$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, то

$$A_1B_1 \parallel AB,\qquad A_1B_1=\frac12\,AB.$$

При гомотетии с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$k=-\frac12$$ точка $$A$$ переходит в точку, лежащую на прямой $$MA$$ по другую сторону от $$M$$ и на расстоянии вдвое меньшем, чем $$MA$$. По условию $$M$$ делит медиану $$AA_1$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины, значит

$$MA_1=\frac12\,MA,$$

и точка $$A_1$$ как раз является образом точки $$A$$ при данной гомотетии.

Прямая $$AB$$ при гомотетии переходит в прямую, параллельную $$AB$$ и проходящую через $$A_1$$. На стороне $$AC$$ такой точкой является середина $$B_1$$, потому что $$A_1B_1 \parallel AB$$ и $$A_1B_1=\frac12\,AB$$. Следовательно, образом отрезка $$AB$$ является отрезок $$A_1B_1$$, причём $$A \mapsto A_1$$ и $$B \mapsto B_1$$.

Ответ: при гомотетии с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$-\frac12$$ отрезок $$AB$$ переходит в отрезок $$A_1B_1$$, точка $$A$$ — в $$A_1$$, точка $$B$$ — в $$B_1$$.