Упр.1339 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через данную точку А окружности проведены всевозможные хорды. Используя гомотетию с центром в точке А, докажите, что множество точек, делящих эти хорды в отношении 1:3, считая от точки А, есть окружность. Укажите положение центра этой окружности.

Подробный ответ

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $$A$$ и коэффициентом $$k=\frac13$$. При такой гомотетии любая точка $$X$$ данной окружности перейдёт в точку $$X_1$$, лежащую на отрезке $$AX$$ и делящую его в отношении

$$AX_1:X_1X=1:2,$$

то есть

$$AX_1=\frac13\,AX.$$

Так как при гомотетии окружность переходит в окружность, то множество всех точек $$X_1$$ также является окружностью. Следовательно, искомое множество точек, делящих все хорды, проведённые через точку $$A$$, в отношении $$1:3$$, есть окружность.

Её центр $$O_1$$ лежит на прямой $$AO$$, где $$O$$ — центр данной окружности. Поскольку при гомотетии центр окружности переходит в центр образа, получаем

$$AO_1=\frac13\,AO,$$

то есть

$$AO_1:O_1O=1:2.$$

Ответ: искомое множество — окружность; её центр $$O_1$$ лежит на прямой $$AO$$ и делит отрезок $$AO$$ в отношении $$1:2$$, считая от точки $$A$$.