Упр.1338 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны прямая $$l$$ и точка $$O$$, не лежащая на ней. Пусть $$X$$ — любая точка прямой $$l$$. Используя гомотетию с центром в точке $$O$$, докажите, что множество точек, делящих отрезок $$OX$$ в отношении $$1:3$$, считая от точки $$O$$, есть прямая, параллельная прямой $$l$$.

Рассмотрим произвольную точку $$X$$ прямой $$l$$ и обозначим через $$A$$ точку отрезка $$OX$$, для которой

$$OA=\frac13\,OX.$$

Тогда точка $$A$$ получается из точки $$X$$ гомотетией с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k=\frac13$$.

Пусть теперь $$X’$$ — другая точка прямой $$l$$, а $$B$$ — точка отрезка $$OX’$$, такая что

$$OB=\frac13\,OX’.$$

При той же гомотетии точка $$X’$$ переходит в точку $$B$$. Значит, образом прямой $$l$$ при гомотетии с центром $$O$$ и коэффициентом $$\frac13$$ является множество точек $$A$$ и $$B$$, то есть некоторая прямая.

По свойству гомотетии образ прямой, не проходящей через центр гомотетии, параллелен исходной прямой. Следовательно, полученная прямая параллельна $$l$$.

Итак, множество точек, делящих отрезки $$OX$$ в отношении $$1:3$$, считая от точки $$O$$, есть прямая, параллельная прямой $$l$$.