Упр.1337 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дана прямая $$l$$ и точка $$O$$, не лежащая на ней. Используя гомотетию с центром в точке $$O$$, докажите, что множество середин всех отрезков $$OX$$, где $$X$$ — любая точка прямой $$l$$, есть прямая, параллельная прямой $$l$$.

Рассмотрим произвольные точки $$X$$ и $$X’$$ прямой $$l$$ и обозначим через $$A$$ и $$B$$ середины отрезков $$OX$$ и $$OX’$$.

При гомотетии с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k=\frac12$$ точка $$X$$ переходит в точку $$A$$, а точка $$X’$$ — в точку $$B$$. Значит, образ прямой $$l$$ при этой гомотетии есть прямая $$AB$$.

По свойству гомотетии образ прямой, не проходящей через центр гомотетии, параллелен исходной прямой. Следовательно, $$AB \parallel l$$.

Так как точки $$X$$ и $$X’$$ были выбраны произвольно, то все середины отрезков $$OX$$ лежат на одной и той же прямой, параллельной $$l$$. Эта прямая и есть множество всех таких середин.