Упр.1334 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В остроугольный треугольник $$ABC$$ впишите квадрат $$PQRS$$ так, чтобы вершины $$P$$ и $$Q$$ принадлежали стороне $$AC$$, а вершины $$P$$ и $$S$$ — соответственно сторонам $$BC$$ и $$BA$$ (рис. 412).

Подробный ответ

Пусть $$D$$ — произвольная точка на стороне $$AB$$.

Из точки $$B$$ опустим перпендикуляр $$DE$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$DE\perp AC$$.

На прямой $$AC$$ отложим отрезок $$EG$$, равный отрезку $$DE$$, то есть $$EG=DE$$.

Через точку $$D$$ проведём перпендикуляр к отрезку $$DE$$. На этом перпендикуляре отложим отрезок $$DF$$, равный $$DE$$, то есть $$DF=DE$$.

Так как $$DE\perp AC$$ и $$DF\perp DE$$, то $$DF\parallel AC$$. Кроме того, $$EG\subset AC$$, значит $$EG\parallel DF$$, а также $$DF=EG$$. Следовательно, четырёхугольник $$DFGE$$ — прямоугольник. Поскольку в нём соседние стороны равны, $$DF=DE$$ и $$EG=DE$$, то $$DFGE$$ — квадрат.

Теперь рассмотрим гомотетию с центром $$A$$. При ней точка $$D$$ переходит в точку $$P$$ на стороне $$AC$$, точка $$E$$ — в точку $$Q$$, точка $$F$$ — в точку $$R$$, а точка $$G$$ — в точку $$S$$. Поэтому образ квадрата $$DFGE$$ есть квадрат $$PQRS$$, причём $$P,Q\in AC$$, $$R\in BC$$, $$S\in BA$$.

Значит, искомый квадрат можно построить указанным способом.