Упр.1333 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На клетчатой бумаге с клетками $$1\times1\ \text{см}$$ изображены окружности и связанные с ними хорды, секущие или касательные (рис. 411). Найдите: а) длины отрезка $$\mathrm{МА}$$ секущей и хорды $$\mathrm{АВ}$$ (рис. 411, а); б) длину отрезка касательной $$\mathrm{АМ}$$ (рис. 411, б); в) длину отрезка $$\mathrm{АМ}$$ хорды (рис. 411, в).

Используем теорему о степени точки: для секущей $$MA\cdot MB=MC\cdot MD$$, а для касательной $$MA^2=MC\cdot MD$$.

а)

По рисунку $$MC=4$$, $$MD=10$$. Тогда

$$MA=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$$

По теореме о секущей:

$$MA\cdot MB=MC\cdot MD,$$
$$5\cdot MB=4\cdot 10,$$
$$MB=8.$$

Тогда длина хорды

$$AB=MB-MA=8-5=3.$$

б)

По рисунку $$MC=3$$, $$MD=12$$. Для касательной:

$$MA^2=MC\cdot MD,$$
$$MA=\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}=6.$$

в)

По рисунку $$MC=4$$, $$MD=2$$. Сначала найдём $$MB$$:

$$MB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$

По теореме о секущей:

$$MB\cdot MA=MC\cdot MD,$$
$$5\cdot MA=4\cdot 2,$$
$$MA=\frac{8}{5}=1{,}6.$$

Ответ: а) $$MA=5$$, $$AB=3$$; б) $$MA=6$$; в) $$MA=1{,}6$$.