Упр.1332 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Две окружности пересекаются в точках $$А$$ и $$В$$. На прямой $$АВ$$ взята точка $$К$$ — внешняя относительно данных окружностей. Через точку $$К$$ проведены две секущие $$m$$ и $$l$$ так, что $$m$$ пересекает одну окружность в точках $$С$$ и $$D$$, а $$l$$ пересекает другую окружность в точках $$Е$$ и $$F$$. Докажите, что $$KC\cdot KD=KE\cdot KF$$.

Рассмотрим секущую $$m$$, которая пересекает одну из окружностей в точках $$C$$ и $$D$$. Тогда по теореме о степени точки для пересекающихся хорд (секущих) получаем:

$$KA\cdot KB=KC\cdot KD.$$

Аналогично для секущей $$l$$, пересекающей другую окружность в точках $$E$$ и $$F$$, имеем:

$$KA\cdot KB=KE\cdot KF.$$

Следовательно,

$$KC\cdot KD=KA\cdot KB=KE\cdot KF.$$

Значит, $$KC\cdot KD=KE\cdot KF$$, что и требовалось доказать.