Упр.1331 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Через точку $$M$$ — внутреннюю относительно окружности с центром $$O$$ и радиусом $$R$$, проходит хорда $$AB$$. Докажите, что $$MA\cdot MB=R^2-MO^2$$.

Проведём через точку $$M$$ диаметр $$CD$$ окружности. Тогда $$O$$ — середина диаметра, поэтому $$OC=OD=R$$.

Так как точка $$M$$ лежит между $$C$$ и $$D$$, получаем:

$$MD=OD-OM=R-OM,$$

$$MC=OC+OM=R+OM.$$

Для пересекающихся хорд $$AB$$ и $$CD$$, пересекающихся в точке $$M$$, имеем:

$$MA\cdot MB=MC\cdot MD.$$

Тогда

$$MA\cdot MB=(R+OM)(R-OM)=R^2-MO^2.$$

Что и требовалось доказать.