Упр.1330 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через точку $$M$$, внешнюю относительно окружности с центром $$O$$ и радиусом $$R$$, проведена секущая, пересекающая окружность в точках $$A$$ и $$B$$. Докажите, что $$MA \cdot MB = MO^2 — R^2$$.

Подробный ответ

Проведём касательную $$MC$$ к окружности в точке $$C$$. Тогда радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит

$$OC\perp MC,$$

а также

$$OC=R.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OCM$$. По теореме Пифагора:

$$MC^2=OM^2-OC^2=OM^2-R^2.$$

По теореме о степени точки для внешней точки $$M$$ имеем:

$$MA\cdot MB=MC^2.$$

Следовательно,

$$MA\cdot MB=OM^2-R^2.$$

Что и требовалось доказать.