Упр.1328 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$АВС$$ сторона $$АВ$$ равна $$6$$, а медиана, проведённая к этой стороне, равна $$4$$. Найдите длину общей хорды двух окружностей, каждая из которых проходит через точку $$С$$ и касается $$АВ$$, причём одна касается в точке $$А$$, а другая — в точке $$В$$.

Обозначим точки пересечения общей хорды с медианой $$CM$$ через $$F_1$$ и $$F_2$$, где $$F_1 \in O_1$$, $$F_2 \in O_2$$.

Рассмотрим первую окружность. Так как она проходит через точки $$A$$ и $$C$$ и касается прямой $$AB$$ в точке $$A$$, то $$MA$$ — касательная к окружности, а $$MC$$ — секущая. По теореме о касательной и секущей:

$$MA^2=MF_1\cdot MC.$$

Так как $$M$$ — середина стороны $$AB$$, то

$$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{6}{2}=3.$$

Кроме того, $$MC=4$$, значит

$$3^2=MF_1\cdot 4,$$

$$MF_1=\frac{9}{4}=2{,}25.$$

Тогда

$$CF_1=MC-MF_1=4-2{,}25=1{,}75.$$

Аналогично для второй окружности:

$$BM^2=MF_2\cdot MC.$$

Поскольку $$M$$ — середина $$AB$$, имеем

$$BM=\frac{1}{2}AB=3.$$

Тогда

$$3^2=MF_2\cdot 4,$$

$$MF_2=\frac{9}{4}=2{,}25,$$

и

$$CF_2=MC-MF_2=4-2{,}25=1{,}75.$$

Следовательно, точки $$F_1$$ и $$F_2$$ совпадают, а длина общей хорды равна

$$CF=1{,}75\text{ см}.$$

Ответ: $$1{,}75\text{ см}$$.