Упр.1327 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пользуясь теоремой об отрезках пересекающихся хорд, докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Так как $$AA_1$$ — диаметр, а $$BB_1 \perp AA_1$$, то диаметр, проходящий через центр окружности, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Значит, точка $$C$$ — середина хорды $$BB_1$$, и потому

$$BC=CB_1=\frac{1}{2}BB_1.$$

Рассмотрим теперь пересекающиеся хорды $$AA_1$$ и $$BB_1$$, которые пересекаются в точке $$C$$. По теореме об отрезках пересекающихся хорд имеем

$$AC\cdot CA_1=BC\cdot CB_1.$$

Так как $$BC=CB_1$$, то

$$AC\cdot CA_1=(BC)^2.$$

Следовательно,

$$BC=\sqrt{AC\cdot CA_1}.$$

Что и требовалось доказать.