Упр.1324 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Начертите окружность с центром $$C$$ и произвольным радиусом $$r$$ и постройте фигуру, в которую переходит эта окружность при гомотетии с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k$$, если:
а) $$O$$ принадлежит данной окружности, $$k=\frac{1}{2}$$;
б) $$O$$ принадлежит данной окружности, $$k=-\frac{1}{2}$$;
в) $$O$$ не принадлежит данной окружности, $$k=3$$.

При гомотетии окружность переходит в окружность. Центр новой окружности лежит на прямой $$OC$$, а её радиус равен $$|k|r$$.

1. Если $$O$$ принадлежит данной окружности и $$k=\frac12$$, то центр образа точки $$C_1$$ лежит на луче $$OC$$ и

   $$OC_1=\frac12\,OC.$$

   Так как $$O$$ лежит на окружности, то $$OC=r$$, значит

   $$OC_1=\frac r2.$$

   Следовательно, получается окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$\frac r2$$, проходящая через точку $$O$$.

2. Если $$O$$ принадлежит данной окружности и $$k=-\frac12$$, то центр образа $$C_1$$ лежит на прямой $$OC$$ по другую сторону от точки $$O$$ и

   $$OC_1=\frac12\,OC=\frac r2.$$

   Значит, образ — окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$\frac r2$$, расположенная по другую сторону от точки $$O$$ и также проходящая через $$O$$.

3. Если $$O$$ не принадлежит данной окружности и $$k=3$$, то центр образа $$C_1$$ лежит на луче $$OC$$ и

   $$OC_1=3\,OC.$$

   Радиус новой окружности равен

   $$r_1=3r.$$

   Следовательно, образ — окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$3r$$.

Ответ: а) окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$\frac r2$$; б) окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$\frac r2$$ по другую сторону от $$O$$; в) окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$3r$$.