Упр.1324 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1324. Начертите окружность с центром С и произвольным радиусом r и постройте фигуру, в которую переходит эта окружность при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k, если: а) О принадлежит данной окружности, k=1/2; б) О принадлежит данной окружности, k=-1/2; в) О не принадлежит данной окружности, k=3.

При гомотетии окружность переходит в окружность. Если центр гомотетии лежит на данной окружности, то образ её центра лежит на прямой, соединяющей центр гомотетии с центром окружности, а радиус новой окружности равен $$|k|r$$.

а) Пусть $$O\in \omega$$ и $$k=\frac12$$. Тогда центр образа $$C_1$$ лежит на луче $$OC$$ и

$$OC_1=\frac12\,OC.$$

Так как $$O$$ лежит на исходной окружности, то $$OC=r$$, значит

$$OC_1=\frac r2.$$

Радиус образа также равен

$$r_1=\frac12r.$$

Следовательно, получается окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$\frac r2$$, касающаяся исходной окружности в точке $$O$$.

б) Пусть $$O\in \omega$$ и $$k=-\frac12$$. Тогда центр образа $$C_1$$ лежит на прямой $$OC$$ по другую сторону от точки $$O$$, причём

$$OC_1=\frac12\,OC=\frac r2.$$

Радиус образа равен

$$r_1=\left|-\frac12\right|r=\frac r2.$$

Значит, образом будет окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$\frac r2$$, расположенная по другую сторону от точки $$O$$ и касающаяся исходной окружности в точке $$O$$.

в) Пусть $$O\notin \omega$$ и $$k=3$$. Тогда центр образа $$C_1$$ лежит на прямой $$OC$$ и

$$OC_1=3\cdot OC.$$

Радиус образа равен

$$r_1=3r.$$

Следовательно, получается окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$3r$$.

Ответ

а) окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$\frac r2$$, касающаяся данной в точке $$O$$;
б) окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$\frac r2$$, расположенная по другую сторону от $$O$$;
в) окружность с центром $$C_1$$ и радиусом $$3r$$.