Упр.132 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ $$AB=A_1B_1$$, $$BC=B_1C_1$$, $$\angle B=\angle B_1$$. На сторонах $$AB$$ и $$A_1B_1$$ отмечены точки $$D$$ и $$D_1$$ так, что $$\angle ACD=\angle A_1C_1D_1$$. Докажите, что $$ABCD\cong A_1B_1C_1D_1$$.
2. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла $$A$$, пересекает стороны угла в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что треугольник $$AMN$$ — равнобедренный.

Рассмотрим прямую $$a$$, которая перпендикулярна биссектрисе $$AA_1$$ угла $$A$$ и пересекает его стороны в точках $$N$$ и $$M$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ANA_1$$ и $$\triangle AMA_1$$.

У них:

• $$AA_1$$ — общая сторона;
• $$\angle NAA_1 = \angle MAA_1$$, так как $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$;
• $$\angle NA_1A = \angle MA_1A = 90^\circ$$, так как $$a \perp AA_1$$.

Следовательно, $$\triangle ANA_1 \cong \triangle AMA_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, соответствующие стороны равны:

$$AN = AM.$$

Тогда в треугольнике $$AMN$$ две стороны равны, следовательно, $$\triangle AMN$$ — равнобедренный.

Ответ: $$AM = AN$$, значит, $$\triangle AMN$$ равнобедренный.