Упр.1313 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Перечертите рисунок 401, а–г в тетрадь и постройте треугольники, в которые переходят данные треугольники при гомотетии с данным центром и коэффициентом:
   а) треугольник $$ABC$$, центр гомотетии $$O$$, $$k=3$$;
   б) треугольник $$XYZ$$, центр гомотетии $$Z$$, $$k=\frac{1}{2}$$;
   в) треугольник $$PQR$$, центр гомотетии $$P$$, $$k=-2$$;
   г) треугольник $$LMN$$, центр гомотетии $$E$$ — середина отрезка $$LM$$, $$k=-\frac{1}{2}$$.

При гомотетии каждая вершина треугольника переходит в точку на прямой, проходящей через центр гомотетии и эту вершину, причём расстояния от центра умножаются на коэффициент $$k$$.

а)

При $$k=3$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ лежат на лучах $$OA, OB, OC$$ соответственно и

$$OA_1=3\cdot OA,\quad OB_1=3\cdot OB,\quad OC_1=3\cdot OC.$$

Значит, искомый треугольник — $$A_1B_1C_1$$, подобный треугольнику $$ABC$$, причём все его стороны в 3 раза больше соответствующих сторон исходного треугольника.

б)

При $$k=\frac12$$ центр гомотетии — точка $$Z$$, поэтому $$Z$$ остаётся неподвижной, а точки $$X_1$$ и $$Y_1$$ лежат на лучах $$ZX$$ и $$ZY$$ и удовлетворяют условиям

$$ZX_1=\frac12\,ZX,\quad ZY_1=\frac12\,ZY.$$

Следовательно, треугольник, в который переходит $$XYZ$$, — это $$ZX_1Y_1$$.

в)

При $$k=-2$$ точки образа лежат на прямых, проходящих через центр $$P$$, но по другую сторону от него, чем исходные вершины. Поэтому

$$PR_1=2\cdot PR,\quad PQ_1=2\cdot PQ,\quad PP_1=0.$$

Итак, образ треугольника $$PQR$$ — треугольник $$P Q_1 R_1$$, причём он расположен по другую сторону от точки $$P$$ и в 2 раза больше исходного.

г)

Так как $$E$$ — середина отрезка $$LM$$ и $$k=-\frac12$$, то образ точки $$L$$ лежит на прямой $$EL$$ по другую сторону от $$E$$, а образ точки $$M$$ — на прямой $$EM$$ по другую сторону от $$E$$, причём

$$EL_1=\frac12\,EL,\quad EM_1=\frac12\,EM.$$

Точка $$N$$ переходит в точку $$N_1$$ на прямой $$EN$$ так, что

$$EN_1=\frac12\,EN.$$

Следовательно, образ треугольника $$LMN$$ — треугольник $$L_1M_1N_1$$.

Ответ: а) $$A_1B_1C_1$$; б) $$ZX_1Y_1$$; в) $$PQ_1R_1$$; г) $$L_1M_1N_1$$.