Упр.1310 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отметьте четыре точки: $$O$$, $$A$$, $$B$$, $$C$$.
а) Постройте точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ так, чтобы при гомотетии с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k=3$$ точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ перешли соответственно в точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$;
б) выполните предыдущее задание для гомотетии с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k$$, равным $$-2$$; $$1$$ и $$\frac{1}{3}$$.
Правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания $$a$$ и плоским углом $$a$$ при вершине вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объём полученного тела.

Подробный ответ

При гомотетии с центром в точке $$O$$ каждая точка переходит в точку, лежащую на той же прямой с центром гомотетии.

Если коэффициент $$k>0$$, то образ лежит по ту же сторону от $$O$$, что и исходная точка, а если $$k<0$$, то по другую сторону. При этом расстояние от центра гомотетии увеличивается или уменьшается в $$|k|$$ раз.

Поэтому:

при $$k=3$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ нужно отметить на лучах $$OA, OB, OC$$ так, чтобы $$OA_1=3\cdot OA$$, $$OB_1=3\cdot OB$$, $$OC_1=3\cdot OC$$;
при $$k=-2$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ нужно отметить на прямых $$OA, OB, OC$$ по другую сторону от $$O$$ так, чтобы $$OA_1=2\cdot OA$$, $$OB_1=2\cdot OB$$, $$OC_1=2\cdot OC$$;
при $$k=1$$ каждая точка переходит сама в себя: $$A_1=A$$, $$B_1=B$$, $$C_1=C$$;
при $$k=\frac13$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ лежат на лучах $$OA, OB, OC$$ и удовлетворяют равенствам $$OA_1=\frac13\,OA$$, $$OB_1=\frac13\,OB$$, $$OC_1=\frac13\,OC$$.

Ответ: при $$k=3$$ — на тех же лучах в 3 раза дальше от $$O$$; при $$k=-2$$ — на противоположных лучах в 2 раза дальше; при $$k=1$$ — совпадают с исходными точками; при $$k=\frac13$$ — на тех же лучах в 3 раза ближе к $$O$$.