Упр.1308 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1308. Площади подобных многоугольников равны 75 м^2 и 300 м^2. Одна из сторон второго многоугольника имеет длину 9 м. Найдите длину сходственной стороны первого многоугольника. Плоскости АВ1С1 и А1ВС разбивают правильную треугольную призму АВСА1В1С1 на четыре части. Найдите объёмы этих частей, если объём призмы равен V.
Пусть стороны подобных многоугольников относятся как $$k$$. Тогда отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$ k^2=\frac{300}{75}=4,\qquad k=2. $$
Сходственная сторона первого многоугольника в 2 раза меньше соответствующей стороны второго, значит
$$ MN=\frac{1}{k}\cdot M_1N_1=\frac{9}{2}=4{,}5\text{ м}. $$
Рассмотрим правильную треугольную призму $$ABCA_1B_1C_1$$. Плоскости $$AB_1C_1$$ и $$A_1BC$$ делят её на четыре части.
Обозначим точки пересечения:
$$ D=AB_1\cap A_1B,\qquad E=AC_1\cap A_1C. $$
Тогда в прямоугольниках $$AA_1B_1B$$ и $$AA_1C_1C$$ отрезок $$DE$$ соединяет середины диагоналей, значит $$DE$$ — средняя линия треугольника $$A_1BC$$. Следовательно,
$$ \triangle A_1DE \sim \triangle A_1BC,\qquad k=\frac{1}{2}. $$
Тогда отношение площадей равно
$$ \frac{S_{A_1DE}}{S_{A_1BC}}=k^2=\frac{1}{4}. $$
Пусть высота призмы равна $$h$$. Тогда объём пирамиды $$AA_1BC$$ равен
$$ V_{AA_1BC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}V. $$
Пирамида $$AA_1BC$$ сечением $$DE$$ разбивается на две пирамиды: $$AA_1DE$$ и $$ADEBC$$. Так как их высоты одинаковы, то отношение объёмов равно отношению площадей оснований:
$$ V_1=V_{AA_1DE}=\frac{1}{4}\,V_{AA_1BC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{12}V, $$
$$ V_2=V_{ADEBC}=\frac{3}{4}\,V_{AA_1BC}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{4}V. $$
Аналогично, пирамида $$A_1BCC_1B_1$$ сечением $$DEC_1B_1$$ разбивается на пирамиду $$A_1DEC_1B_1$$ и многогранник $$EDBCC_1B_1$$. Причём
$$ V_3=V_{A_1DEC_1B_1}=V_2=\frac{1}{4}V. $$
Оставшийся многогранник имеет объём
$$ V_4=V-\left(V_1+V_2+V_3\right) =V-\left(\frac{1}{12}V+\frac{1}{4}V+\frac{1}{4}V\right) =V-\frac{7}{12}V=\frac{5}{12}V. $$
Ответ
$$MN=4{,}5\text{ м};\quad V_1=\frac{1}{12}V,\quad V_2=\frac{1}{4}V,\quad V_3=\frac{1}{4}V,\quad V_4=\frac{5}{12}V.$$
