Упр.1307 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Длина стороны квадрата $$F$$ равна $$a$$. Построен многоугольник $$F_1$$, подобный многоугольнику $$F$$. а) Докажите, что многоугольник $$F$$ — квадрат; б) Найдите площадь многоугольника $$F_1$$, если коэффициент подобия многоугольников $$F$$ и $$F_1$$ равен $$k$$.
2. Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.

Для квадрата $$MNPQ$$ имеем

$$\angle M=\angle N=\angle P=\angle Q=90^\circ,$$

а все его стороны равны:

$$MN=NP=PQ=QM=a.$$

По условию $$F_1 \sim F.$$ Значит, у многоугольника $$F_1$$ все углы равны соответствующим углам многоугольника $$F$$, то есть каждый его угол равен $$90^\circ$$, а все стороны равны между собой. Следовательно, $$F_1$$ — квадрат.

Если коэффициент подобия многоугольников $$F$$ и $$F_1$$ равен $$k$$, то сторона квадрата $$F_1$$ равна

$$a_1=ka.$$

Тогда площадь многоугольника $$F_1$$:

$$S_{F_1}=a_1^2=(ka)^2=k^2a^2.$$

Ответ: $$F_1$$ — квадрат; $$S_{F_1}=k^2a^2.$$