Упр.1306 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1306. Многоугольники F_1 и F_2 подобны. Пусть S_1 и S_2 — их площади, a k — коэффициент подобия многоугольника F_1 относительно F_2. Используя теорему о площадях подобных многоугольников, заполните таблицу. Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удалённых от него вершин куба. Как должен двигаться паук?

Для подобных многоугольников выполняется соотношение между площадями и коэффициентом подобия:

$$\frac{S_1}{S_2}=k^2,$$

откуда

$$k=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}.$$

1) $$S_1=27\text{ см}^2,\quad S_2=3\text{ см}^2.$$ Тогда

$$k=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt{9}=3.$$

2) $$S_1=640\text{ см}^2,\quad k=2.$$ Значит,

$$S_2=\frac{S_1}{k^2}=\frac{640}{4}=160\text{ см}^2.$$

3) $$S_1=24\text{ дм}^2,\quad S_2=54\text{ дм}^2.$$ Тогда

$$k=\sqrt{\frac{24}{54}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}.$$

4) $$S_1=24\text{ см}^2,\quad S_2=6\text{ мм}^2.$$ Переведём $$S_1$$ в квадратные миллиметры:

$$24\text{ см}^2=2400\text{ мм}^2.$$

Тогда

$$k=\sqrt{\frac{2400}{6}}=\sqrt{400}=20.$$

5) $$S_1=4a^3\text{ см}^2,\quad S_2=4a^2\text{ см}^2.$$ Тогда

$$k=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}=\sqrt{\frac{4a^3}{4a^2}}=\sqrt{a}.$$

Теперь решим задачу о пауке. Пусть ребро куба равно $$a$$. Точка $$E$$ — середина ребра $$AA_1$$, то есть $$AE=EA_1=\frac{a}{2}.$$

Развернём две грани куба так, чтобы кратчайший путь по поверхности стал отрезком на плоскости. Тогда путь от $$E$$ к вершине $$C$$ проходит через точку $$F$$ — пересечение отрезка $$EC$$ с ребром $$BB_1$$.

В прямоугольнике $$AA_1C_1C$$ отрезок $$EC$$ — кратчайшее расстояние между точками $$E$$ и $$C$$ в развёртке. Точка $$F$$ лежит на $$BB_1$$, а в треугольнике $$ABE$$ имеем $$AB=BE=a$$, поэтому $$F$$ — середина соответствующего отрезка и

$$FB=\frac{1}{2}AE=\frac{a}{4}.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$EFB$$

$$EF=\sqrt{EB^2+FB^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{a}{4}\right)^2}=\frac{a\sqrt{17}}{4}.$$

По симметрии $$FC=EF$$, значит кратчайший путь по поверхности равен

$$EF+FC=2\cdot \frac{a\sqrt{17}}{4}=\frac{a\sqrt{17}}{2}.$$

Следовательно, паук должен двигаться по поверхности куба через середину ребра $$BB_1$$: сначала от $$E$$ к $$F$$, затем от $$F$$ к вершине $$C$$.

Ответ

1) $$k=3$$; 2) $$S_2=160\text{ см}^2$$; 3) $$k=\frac{2}{3}$$; 4) $$k=20$$; 5) $$k=\sqrt{a}$$.

Кратчайший путь паука равен $$\frac{a\sqrt{17}}{2}$$, где $$a$$ — ребро куба.