Упр.1306 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Многоугольники $$F_1$$ и $$F_2$$ подобны. Пусть $$S_1$$ и $$S_2$$ — их площади, а $$k$$ — коэффициент подобия многоугольника $$F_1$$ относительно $$F_2$$. Используя теорему о площадях подобных многоугольников, заполните таблицу.
2. Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удалённых от него вершин куба. Как должен двигаться паук?

Пусть ребро куба равно $$a.$$ Обозначим середину ребра $$AA_1$$ через $$E.$$ Нужно найти кратчайший путь по граням из точки $$E$$ в вершину $$C$$, наиболее удалённую от неё.

Развернём две соседние грани куба так, чтобы они лежали в одной плоскости. Тогда путь по поверхности из $$E$$ в $$C$$ превратится в отрезок, а значит, кратчайшее расстояние равно длине этого отрезка.

В полученной плоскости точка $$E$$ соединяется с точкой $$C$$ отрезком $$EC.$$ Пусть $$F$$ — точка пересечения этого отрезка с ребром, по которому грани соединяются. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AA_1C_1C$$ точка $$F$$ лежит на середине соответствующего отрезка, поэтому $$FB$$ — средняя линия треугольника $$AEC$$, и

$$FB=\frac12\,AE=\frac a4.$$

Теперь найдём длину $$EF$$:

$$EF=\sqrt{a^2+\left(\frac a4\right)^2} =\sqrt{\frac{16a^2+a^2}{16}} =\frac{a\sqrt{17}}{4}.$$

Так как путь состоит из двух равных частей по развернутым граням, получаем

$$EC=2EF=2\cdot \frac{a\sqrt{17}}{4}=\frac{a\sqrt{17}}{2}.$$

Следовательно, паук должен двигаться по граням куба по кратчайшему пути, проходящему через развертку двух соседних граней, и попасть в вершину $$C$$.

Ответ: $$\frac{a\sqrt{17}}{2}.$$