Упр.1305 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1305. Периметр четырёхугольника MNPQ относится к периметру подобного ему четырёхугольника M_1N_1P_1Q_1 как 3:5. Длина стороны MN=7 см, а длина P_1Q_1 на 5 см больше длины стороны M_1N_1. Найдите длину стороны PQ. Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.

Подробный ответ

Обозначим коэффициент подобия четырёхугольников $$MNPQ$$ и $$M_1N_1P_1Q_1$$ через $$k$$. Тогда

$$\frac{P_{MNPQ}}{P_{M_1N_1P_1Q_1}}=\frac{3}{5}, \qquad k=\frac{3}{5}.$$

Для подобных фигур отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия, значит

$$\frac{MN}{M_1N_1}= \frac{3}{5}.$$

Отсюда

$$M_1N_1=\frac{5}{3}\cdot MN=\frac{5}{3}\cdot 7=\frac{35}{3}\text{ см}.$$

По условию $$P_1Q_1$$ на $$5$$ см больше, чем $$M_1N_1$$, значит

$$P_1Q_1=\frac{35}{3}+5=\frac{35}{3}+\frac{15}{3}=\frac{50}{3}\text{ см}.$$

Так как четырёхугольники подобны, то

$$\frac{PQ}{P_1Q_1}=\frac{3}{5}.$$

Следовательно,

$$PQ=\frac{3}{5}\cdot \frac{50}{3}=10\text{ см}.$$

Докажем, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник.

а) Правильный треугольник. Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и плоскость, проходящую через точки $$A_1, D, C$$. Сечение — треугольник $$AD_1C$$. Действительно,

$$AD_1=CD_1=AC=a\sqrt{2},$$

так как $$AD_1$$ и $$CD_1$$ — диагонали граней куба, а $$AC$$ — диагональ основания. Значит, $$\triangle AD_1C$$ равносторонний, то есть сечение является правильным треугольником.

б) Квадрат. Возьмём точки $$E, F, G, H$$ — середины рёбер $$AD, A_1D_1, B_1C_1, BC$$ соответственно. Тогда $$EF \parallel AA_1$$ и $$FG \parallel A_1B_1$$, следовательно, плоскость сечения параллельна граням куба. При этом

$$EF=FG=GH=HE=a,\qquad \angle E=\angle F=\angle G=\angle H=90^\circ.$$

Значит, сечение $$EFGH$$ — квадрат.

в) Правильный шестиугольник. Рассмотрим сечение $$EFGHMN$$, где $$E, F, G, H, M, N$$ — середины рёбер $$A_1D_1, D_1C_1, C_1C, CB, BA, AA_1$$ соответственно. Тогда все стороны этого шестиугольника равны. Например,

$$EF=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Аналогично

$$EF=FG=GH=HM=MN=NE=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Найдём диагональ $$EG$$:

$$EG=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$$

В треугольнике $$EFG$$ по теореме косинусов

$$\cos \angle F=\frac{EF^2+FG^2-EG^2}{2\cdot EF\cdot FG}=\frac{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}-\frac{3a^2}{2}}{2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}=-\frac{1}{2}.$$

Значит, $$\angle F=120^\circ$$. Аналогично все внутренние углы шестиугольника равны $$120^\circ$$. Следовательно, $$EFGHMN$$ — правильный шестиугольник.