Упр.1303 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Могут ли быть подобны:
а) Соответственные углы должны быть равны;
б) Соответственные углы должны быть равны;
в) Отношения всех сторон должны быть равны;
е) Количество углов должно быть одинаковым;
а) нет; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) нет. Даны прямая, окружность и точка А, не лежащая на них. Постройте квадрат ABCD так, чтобы вершина В лежала на данной прямой, а вершина D — на данной окружности.

Решение

а) Нет. У подобных многоугольников соответствующие углы равны. У остроугольного треугольника все углы острые, а у тупоугольного есть тупой угол, значит, такие треугольники подобными быть не могут.

б) Нет. У равностороннего треугольника все углы равны $$60^\circ$$, а у равнобедренного, но не равностороннего треугольника углы не все равны. Следовательно, они не могут быть подобны.

в) Нет. У прямоугольника все углы прямые, но для подобия этого недостаточно: должны быть равны отношения соответствующих сторон. У квадрата все стороны равны, а у прямоугольника — не обязательно, значит, в общем случае они не подобны.

г) Да. Любые два прямоугольника подобны, если у них все углы прямые, а отношения соответствующих сторон могут быть одинаковыми после выбора соответствия сторон.

д) Да. Любые два пятиугольника могут быть подобны, если у них равны соответствующие углы и пропорциональны соответствующие стороны; число сторон у них одинаковое, поэтому подобие возможно.

е) Нет. Подобные многоугольники должны иметь одинаковое число сторон, а у шестиугольника и пятиугольника оно различно.

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) нет.

Решение

Построим квадрат $$ABCD$$ так, чтобы $$B \in a$$, $$D \in O$$.

1) Через точку $$A$$ проведём перпендикуляр $$AF$$ к прямой $$a$$ и на нём отложим точку $$E$$ так, чтобы $$AE=AF$$.

2) Через точку $$E$$ проведём прямую $$a’$$, перпендикулярную $$AE$$. Тогда $$a’$$ является образом прямой $$a$$ при повороте на $$90^\circ$$ вокруг точки $$A$$.

3) Обозначим через $$D$$ точку пересечения прямой $$a’$$ с данной окружностью.

4) Через точку $$A$$ проведём прямую, перпендикулярную $$AD$$, и отметим точку $$B$$ как точку её пересечения с прямой $$a$$.

5) Через точки $$D$$ и $$B$$ проведём прямые $$DC \perp AD$$ и $$BC \perp AB$$. Их пересечение обозначим через $$C$$.

Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ — квадрат: $$AB \perp AD$$, $$BC \perp AB$$, значит, $$AB \parallel DC$$ и $$AD \parallel BC$$, а также $$AB=AD$$ как стороны квадрата, полученного поворотом на $$90^\circ$$.

Ответ: квадрат $$ABCD$$ построен.