Упр.1302 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1302. Подобны ли многоугольники, изображённые на рисунке 390? Ответ обоснуйте. Даны точки А и В и две пересекающиеся прямые с и d. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы вершины С и D лежали соответственно на прямых c и d.

Пусть в первом многоугольнике соответствующие стороны равны $$AB=2a,\ BC=2b,\ CD=2c,\ AD=2d,$$ а во втором — $$A_1B_1=3a,\ B_1C_1=3b,\ C_1D_1=3c,\ A_1D_1=3d.$$

Тогда все соответствующие углы равны:

$$\angle A=\angle A_1,\quad \angle B=\angle B_1,\quad \angle C=\angle C_1,$$

а четвёртый угол также равен, так как сумма углов четырёхугольника равна $$360^\circ$$:

$$\angle D=360^\circ-\angle A-\angle B-\angle C=\angle D_1.$$

Кроме того, отношения соответствующих сторон одинаковы:

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{2a}{3a}=\frac{2}{3},\qquad \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{2b}{3b}=\frac{2}{3},$$

$$\frac{CD}{C_1D_1}=\frac{2c}{3c}=\frac{2}{3},\qquad \frac{AD}{A_1D_1}=\frac{2d}{3d}=\frac{2}{3}.$$

Следовательно, все соответствующие углы равны и все соответствующие стороны пропорциональны, значит, многоугольники подобны.

Ответ

Да, подобны.

Ход решения

Обозначим точку пересечения прямых $$c$$ и $$d$$ через $$O$$.

Построим точку $$E$$ так, чтобы $$BE=AO$$ и $$BE \parallel AO$$. Тогда четырёхугольник $$ABOE$$ — параллелограмм.

Через точку $$E$$ проведём прямую, параллельную прямой $$d$$, и отметим точку $$C$$ её пересечения с прямой $$c$$.

Через точку $$A$$ проведём прямую, параллельную отрезку $$CB$$, и отметим точку $$D$$ её пересечения с прямой $$d$$.

Тогда $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$, значит, четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм, причём $$C \in c$$ и $$D \in d$$.

Ответ

Параллелограмм $$ABCD$$ построен.