Упр.130 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 74 $$\angle DAC=\angle DBC$$, $$AO=BO$$. Докажите, что $$\angle C=\angle D$$ и $$AC=BD$$.
- В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ отрезки $$CO$$ и $$C_1O_1$$ — медианы, $$BC=B_1C_1$$, $$\angle B=\angle B_1$$ и $$\angle C=\angle C_1$$. Докажите, что:
а) $$\triangle ACO=\triangle A_1C_1O_1$$;
б) $$\triangle BCO=\triangle B_1C_1O_1$$.
Так как $$AO=BO,$$ то треугольник $$AOB$$ равнобедренный, значит, $$\angle OAB=\angle OBA.$$
Запишем углы треугольников $$CAB$$ и $$DBA$$:
$$\angle CAB=\angle OAB+\angle CAO,$$
$$\angle DBA=\angle OBA+\angle DBC.$$
По условию $$\angle DAC=\angle DBC,$$ а луч $$AO$$ лежит внутри угла $$DAC,$$ поэтому
$$\angle DAC=\angle DAO+\angle OAC.$$
Но $$\angle DAO=\angle OAB$$ и $$\angle OAC=\angle CAO,$$ следовательно, из равенства $$\angle DAC=\angle DBC$$ получаем
$$\angle CAB=\angle DBA.$$
Кроме того, $$\angle CBA=\angle DAB$$, так как
$$\angle CBA=\angle CBO+\angle OBA,$$
$$\angle DAB=\angle DAO+\angle OAB,$$
а $$\angle CBO=\angle DAO$$ и $$\angle OBA=\angle OAB.$$
Теперь в треугольниках $$CAB$$ и $$DBA$$ имеем:
$$\angle CAB=\angle DBA,$$
$$\angle CBA=\angle DAB,$$
$$AB$$ — общая сторона.
Следовательно, $$\triangle CAB \cong \triangle DBA$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда соответствующие элементы равны:
$$\angle C=\angle D,$$
$$AC=BD.$$
Ответ: $$\angle C=\angle D,\ AC=BD.$$
