Упр.1294 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

1) Пусть требуется построить трапецию ABCD;
2) На произвольной прямой построим отрезок AD;
3) На этой же прямой построим отрезок DD_1=BC;
4) Из точки A проведем окружность радиуса AC;
5) Из точки D_1 проведем окружность радиуса BD;
6) Отметим точку C на пересечении окружностей;
7) В точке D проведем прямую параллельно CD_1;
8) На данной прямой построим отрезок BD. Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой.

Подробный ответ

Пусть даны две трапеции $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$, у которых соответственно равны основания и боковые стороны:

$$AD=A_1D_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AB=A_1B_1,\quad CD=C_1D_1.$$

Проведём в трапеции $$ABCD$$ через точку $$C$$ прямую $$CE$$, параллельную основаниям, где $$E\in AD$$. Тогда четырёхугольник $$ABCE$$ — параллелограмм, значит

$$AB=CE,\quad BC=AE.$$

Аналогично, в трапеции $$A_1B_1C_1D_1$$ проведём через точку $$C_1$$ прямую $$C_1E_1$$, параллельную основаниям, где $$E_1\in A_1D_1$$. Тогда $$A_1B_1C_1E_1$$ — параллелограмм, поэтому

$$A_1B_1=C_1E_1,\quad B_1C_1=A_1E_1.$$

Из условий получаем:

$$CE=AB=A_1B_1=C_1E_1,$$

$$AE=BC=B_1C_1=A_1E_1.$$

Кроме того,

$$ED=AD-AE=A_1D_1-A_1E_1=E_1D_1,$$

а также

$$CD=C_1D_1.$$

Следовательно, треугольники $$ECD$$ и $$E_1C_1D_1$$ равны по трём сторонам. Значит, существует наложение, при котором

$$E\mapsto E_1,\quad C\mapsto C_1,\quad D\mapsto D_1.$$

Тогда прямая через $$A$$, параллельная $$CE$$, совпадёт с прямой через $$A_1$$, параллельной $$C_1E_1$$, а точка пересечения этих прямых с соответствующими сторонами даст соответствие $$A\mapsto A_1$$. Аналогично получаем $$B\mapsto B_1$$.

Итак, при наложении совпадают все вершины трапеций, значит

$$ABCD \cong A_1B_1C_1D_1.$$

Следовательно, две трапеции равны, если их основания и боковые стороны соответственно равны.