Упр.1294 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Используя параллельный перенос, постройте трапецию по её основаниям и диагоналям.
- Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой.
Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания равны $$AD$$ и $$BC$$, а боковые стороны — $$AB$$ и $$CD$$. Рассмотрим вторую трапецию $$A_1B_1C_1D_1$$, у которой
$$AD=A_1D_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AB=A_1B_1,\quad CD=C_1D_1.$$
Докажем, что трапеции равны.
Проведём в первой трапеции отрезок $$CE$$ так, чтобы точка $$E$$ лежала на прямой $$AD$$ и $$CE\parallel AB$$. Тогда четырёхугольник $$ABCE$$ — параллелограмм, значит
$$CE=AB,\quad AE=BC.$$
Аналогично во второй трапеции проведём $$C_1E_1\parallel A_1B_1$$, где $$E_1\in A_1D_1$$. Тогда $$A_1B_1C_1E_1$$ — параллелограмм, поэтому
$$C_1E_1=A_1B_1,\quad A_1E_1=B_1C_1.$$
Из условий получаем
$$CE=C_1E_1,\quad AE=A_1E_1,\quad CD=C_1D_1,\quad ED=AD-AE=A_1D_1-A_1E_1=E_1D_1.$$
Следовательно, треугольники $$ECD$$ и $$E_1C_1D_1$$ равны по трём сторонам. Значит, при наложении можно совместить точки $$C$$ и $$C_1$$, $$D$$ и $$D_1$$, а также точки $$E$$ и $$E_1$$.
Тогда через точку $$A$$ проходит единственная прямая, параллельная $$CE$$, а через точку $$C$$ — единственная прямая, параллельная $$AD$$. Поэтому при совмещении совпадут и точки $$A$$ с $$A_1$$, а затем и точки $$B$$ с $$B_1$$.
Итак, все соответствующие вершины трапеций совпадают, значит
$$ABCD \cong A_1B_1C_1D_1.$$
Ответ: трапеции равны.
