Упр.1293 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ и точка $$O$$, не лежащая ни на одной из них. Используя центральную симметрию, постройте прямую, проходящую через точку $$O$$, так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой $$O$$ пополам.
2. Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$A$$, а точка $$O$$ не лежит ни на одной из них.

Построим искомую прямую так:

1. Из точки $$O$$ опустим перпендикуляр $$OE$$ на прямую $$a$$.
2. Построим точку $$F$$, симметричную точке $$E$$ относительно точки $$O$$.
3. Через точку $$F$$ проведём прямую, параллельную прямой $$a$$.
4. Обозначим через $$B$$ точку пересечения этой прямой с прямой $$b$$.
5. Проведём прямую $$AB$$.

Докажем, что она искомая.

Так как точка $$F$$ симметрична точке $$E$$ относительно $$O$$, то $$O$$ — середина отрезка $$EF$$. Кроме того, $$OE \perp a$$, а значит, прямая $$EF$$ тоже перпендикулярна $$a$$. Следовательно, построенная через $$F$$ прямая параллельна $$a$$ и вместе с прямой $$b$$ образует отрезок $$AB$$, проходящий через точку $$O$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOE$$ и $$\triangle BOF$$. Имеем:

• $$OE = OF$$, так как $$O$$ — середина $$EF$$;
• $$\angle AEO = \angle BFO = 90^\circ$$;
• $$\angle AOE = \angle BOF$$ как вертикальные.

Значит, $$\triangle AOE \cong \triangle BOF$$, откуда $$AO = OB$$. Следовательно, точка $$O$$ делит отрезок $$AB$$ пополам.

Итак, прямая $$AB$$ — искомая.