Упр.1292 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

так, что направление обхода по дуге АВС от точки А к точке С совпадает с направлением обхода по дуге A_1B_1C_1 от точки A_1 к точке C_1. Используя поворот вокруг точки О, докажите, что прямые AA_1, BB_1 и CC_1 либо проходят через точку О, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник. Даны два равных отрезка АВ и А1В1. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки А и В отображаются соответственно в точки А1 и В1.

Так как треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равносторонние и вписаны в одну окружность с центром $$O$$, то соответствующие центральные углы равны:

$$\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=120^\circ,$$

$$\angle A_1OB_1=\angle B_1OC_1=\angle C_1OA_1=120^\circ.$$

Рассмотрим поворот вокруг точки $$O$$ на угол $$120^\circ$$. При таком повороте точки переходят так:

$$A\to B,\quad B\to C,\quad C\to A,$$

и одновременно

$$A_1\to B_1,\quad B_1\to C_1,\quad C_1\to A_1.$$

Значит, прямые $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ при этом повороте переходят друг в друга. Поэтому их попарные пересечения либо совпадают с центром поворота $$O,$$ либо образуют треугольник, который также переходит в себя при повороте на $$120^\circ$$. Такой треугольник равносторонний.

Следовательно, прямые $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ либо проходят через точку $$O,$$ либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.

Теперь докажем второе утверждение. Пусть $$AB=A_1B_1$$. Возьмём на плоскости третью точку $$M$$ и рассмотрим треугольник $$AMB$$. Если движение переводит $$A\to A_1$$ и $$B\to B_1,$$ то образ точки $$M$$, обозначим его $$N,$$ должен удовлетворять условиям:

$$AM=A_1N,\qquad BM=B_1N.$$

То есть точка $$N$$ должна лежать одновременно на окружности с центром $$A_1$$ и радиусом $$AM$$ и на окружности с центром $$B_1$$ и радиусом $$BM$$. Эти окружности пересекаются в двух точках $$N_1$$ и $$N_2$$, значит, возможны ровно два движения.

Они соответствуют двум случаям: движение, сохраняющее ориентацию, и движение, меняющее ориентацию. Следовательно, существует ровно два движения, при которых $$A$$ и $$B$$ переходят соответственно в $$A_1$$ и $$B_1$$.

Ответ

Прямые $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ либо проходят через точку $$O,$$ либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник. Существует ровно два движения, переводящих $$A$$ в $$A_1$$ и $$B$$ в $$B_1$$.