Упр.1292 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. В окружность с центром $$O$$ вписаны два равносторонних треугольника $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге $$ABC$$ от точки $$A$$ к точке $$C$$ совпадает с направлением обхода по дуге $$A_1B_1C_1$$ от точки $$A_1$$ к точке $$C_1$$. Используя поворот вокруг точки $$O$$, докажите, что прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ либо проходят через точку $$O$$, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.
- Задание учебника 2023 года. Даны два равных отрезка $$AB$$ и $$A_1B_1$$. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки $$A$$ и $$B$$ отображаются соответственно в точки $$A_1$$ и $$B_1$$.
Пусть поворот вокруг точки $$O$$ переводит треугольник $$ABC$$ в треугольник $$A_1B_1C_1$$. Так как оба треугольника равносторонние и вписаны в одну окружность, то центральные углы, соответствующие их вершинам, равны $$120^\circ$$. Значит, существует поворот с центром в точке $$O$$ на угол $$120^\circ$$, при котором
$$A\to B,\quad B\to C,\quad C\to A,$$
а также
$$A_1\to B_1,\quad B_1\to C_1,\quad C_1\to A_1.$$
Рассмотрим прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$. При повороте на $$120^\circ$$ каждая из них переходит в следующую:
$$AA_1 \to BB_1,\quad BB_1 \to CC_1,\quad CC_1 \to AA_1.$$
Поэтому точки пересечения этих прямых, если они существуют, также переходят друг в друга при повороте на $$120^\circ$$. Обозначим
$$D=AA_1\cap CC_1,\quad E=BB_1\cap AA_1,\quad F=CC_1\cap BB_1.$$
Тогда поворот на $$120^\circ$$ переводит $$D$$ в $$E$$, $$E$$ в $$F$$, а $$F$$ в $$D$$. Следовательно, треугольник $$DEF$$ равносторонний, так как при повороте на $$120^\circ$$ его вершины циклически переставляются.
Если же одна из прямых $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$ проходит через центр $$O$$, то из симметрии относительно поворота на $$120^\circ$$ через точку $$O$$ проходят и две другие, то есть
$$D=E=F=O.$$
Таким образом, прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ либо проходят через точку $$O$$, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.
