Упр.1290 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1290. На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены квадраты так, как показано на рисунке 378. Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне AD. Постройте границу круга, площадь которого равна: а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями; б) площади данного полукруга; в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в 60°.

Подробный ответ

Обозначим центры построенных квадратов через $$E$$ и $$F$$.

В квадрате $$ABEF$$ диагональ $$AE$$ образует с его стороной $$AB$$ угол $$45^\circ$$, а в квадрате $$DCFG$$ диагональ $$DF$$ образует с его стороной $$DC$$ угол $$45^\circ$$. Так как в параллелограмме $$ABCD$$ стороны $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD$$, то квадраты построены на равных параллельных отрезках.

Рассмотрим параллельный перенос на вектор $$\overrightarrow{AD}$$. При этом точка $$A$$ переходит в $$D$$, а сторона $$AB$$ — в сторону $$DC$$. Значит, квадрат, построенный на $$AB$$, переходит в квадрат, построенный на $$CD$$. Следовательно, центр $$E$$ первого квадрата переходит в центр $$F$$ второго квадрата.

При параллельном переносе отрезок переходит в равный и параллельный ему отрезок, значит

$$EF \parallel AD,\qquad EF=AD.$$

Тем самым отрезок, соединяющий центры квадратов, равен и параллелен стороне $$AD$$.

Для построения круга, площадь которого равна заданной, используем формулу площади круга $$S=\pi r^2$$.

а) Пусть радиусы данных концентрических окружностей равны $$R$$ и $$r_0$$. Тогда площадь кольца

$$S_{\text{кольца}}=\pi\left(R^2-r_0^2\right).$$

Искомый круг должен иметь радиус $$r$$, для которого

$$\pi r^2=\pi\left(R^2-r_0^2\right),$$

откуда

$$r=\sqrt{R^2-r_0^2}.$$

б) Площадь полукруга радиуса $$R$$ равна

$$S=\frac{\pi R^2}{2}.$$