Упр.1289 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Медианы $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Точки $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$ являются соответственно серединами отрезков $$AM$$, $$BM$$ и $$CM$$. Докажите, что треугольник $$A_1B_1C_1$$ = треугольник $$A_2B_2C_2$$.
2. На рисунке 373 изображены четыре полуокружности: $$AEB$$, $$AKC$$, $$CFD$$, $$DLB$$, причём $$AC=DB$$. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке $$EF$$ как на диаметре.

1) В треугольнике $$ABC$$ медианы пересекаются в точке $$M$$, поэтому точка $$M$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины:

$$AM=2MA_1,\quad BM=2MB_1,\quad CM=2MC_1.$$

Так как точки $$A_2,\ B_2,\ C_2$$ — середины отрезков $$AM,\ BM,\ CM$$ соответственно, то

$$A_2M=MA_2=\frac{AM}{2}=MA_1,$$

$$B_2M=MB_2=\frac{BM}{2}=MB_1,$$

$$C_2M=MC_2=\frac{CM}{2}=MC_1.$$

Следовательно, точка $$M$$ является серединой отрезков $$A_1A_2,\ B_1B_2,\ C_1C_2$$. Значит, при центральной симметрии относительно точки $$M$$ точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ переходят в точки $$A_2,\ B_2,\ C_2$$.

Центральная симметрия сохраняет длины и углы, поэтому треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ равны.

Ответ: $$\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle A_2B_2C_2$$.