Упр.1289 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1289. Медианы AA_1, BB_1 и CC_1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки A_2, B_2 и C_2 являются соответственно серединами отрезков АМ, ВМ и СМ. Докажите, что треугольник A_1B_1C_1=треугольник A_2B_2C_2. На рисунке 373 изображены четыре полуокружности: АЕВ, АКС, CFD, DLB, причём AC = DB. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке EF как на диаметре.

Подробный ответ

1) В треугольнике $$ABC$$ медианы пересекаются в точке $$M$$, значит точка $$M$$ — центр тяжести. Поэтому каждая медиана делится этой точкой в отношении $$2:1$$, считая от вершины:

$$AM=2MA_1,\quad BM=2MB_1,\quad CM=2MC_1.$$

Так как точки $$A_2,\ B_2,\ C_2$$ — середины отрезков $$AM,\ BM,\ CM$$, то

$$AA_2=A_2M=MA_1,\quad BB_2=B_2M=MB_1,\quad CC_2=C_2M=MC_1.$$

Следовательно, точка $$M$$ является серединой отрезков $$A_1A_2,\ B_1B_2,\ C_1C_2$$, то есть точки $$A_1$$ и $$A_2$$ симметричны относительно $$M$$, точки $$B_1$$ и $$B_2$$ симметричны относительно $$M$$, точки $$C_1$$ и $$C_2$$ симметричны относительно $$M$$.

При центральной симметрии относительно точки $$M$$ треугольник $$A_1B_1C_1$$ переходит в треугольник $$A_2B_2C_2$$. Значит, эти треугольники равны.

2) Пусть $$OA=R$$, $$OC=r$$. Тогда

$$AC=DB=\frac{R-r}{2},\qquad EF=R+r.$$

Площадь закрашенной фигуры равна сумме площадей двух полуокружностей радиусов $$R$$ и $$r$$ без площадей двух равных треугольников с основанием $$\frac{R-r}{2}$$:

$$ S_F=\frac{1}{2}\pi R^2+\frac{1}{2}\pi r^2-\pi\left(\frac{R-r}{2}\right)^2. $$

Преобразуем:

$$ S_F=\frac{\pi}{2}(R^2+r^2)-\frac{\pi}{4}(R-r)^2 =\frac{\pi}{4}\bigl(2R^2+2r^2-R^2+2Rr-r^2\bigr) $$

$$ =\frac{\pi}{4}(R^2+2Rr+r^2) =\frac{\pi}{4}(R+r)^2 =\frac{\pi}{4}EF^2. $$

Но $$\frac{\pi}{4}EF^2$$ — это площадь круга, построенного на отрезке $$EF$$ как на диаметре. Следовательно, площади равны.