Упр.1288 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны острый угол АВС и точка D внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки Е и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший периметр.
- По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка $$AC$$ равна длине окружности с центром $$O$$ радиуса $$R$$ с точностью до $$0{,}001R$$.
Пусть $$O$$ — центр окружности, $$R$$ — её радиус. Тогда по рисунку $$\angle O=60^\circ$$, а $$BC=6R$$.
Найдём длину отрезка $$AC$$.
Из прямоугольного треугольника имеем:
$$OA=R\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}R.$$
Тогда
$$AB=OA+OB=\frac{\sqrt3}{2}R+R=\frac{\sqrt3+2}{2}R.$$
По теореме Пифагора:
$$AC^2=AB^2+BC^2$$
$$AC^2=\left(\frac{\sqrt3+2}{2}R\right)^2+(6R)^2$$
$$AC^2=\frac{7+4\sqrt3}{4}R^2+36R^2=\frac{151+4\sqrt3}{4}R^2.$$
Следовательно,
$$AC=\frac{\sqrt{151+4\sqrt3}}{2}R.$$
Теперь сравним это значение с длиной окружности $$2\pi R$$:
$$\frac{\sqrt{151+4\sqrt3}}{2}\approx 6{,}283$$
$$2\pi\approx 6{,}283.$$
Разность этих величин меньше $$0{,}001R$$, значит, длина отрезка $$AC$$ равна длине окружности с центром $$O$$ радиуса $$R$$ с точностью до $$0{,}001R$$.
Ответ
$$AC\approx 2\pi R$$ с точностью до $$0{,}001R$$.
