Упр.1287 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1287. Даны два произвольных луча h и h_1. Можно ли утверждать, что существует движение, при котором луч h отображается на луч h_1? Пусть ABCD — квадрат, a A1B1C1 — правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса R. Докажите, что сумма АВ + А1В1 равна длине полуокружности с точностью до 0,01R.

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — вершины данных лучей $$h$$ и $$h_1$$. Сначала параллельным переносом совместим точку $$O$$ с точкой $$O_1$$. При этом луч $$h$$ перейдёт в некоторый луч $$h’$$, а луч $$h_1$$ останется лучом с началом в $$O_1$$.

Теперь рассмотрим поворот с центром в точке $$O_1$$ на угол $$\alpha$$, равный углу между лучами $$h’$$ и $$h_1$$. При таком повороте луч $$h’$$ перейдёт в луч $$h_1$$.

Следовательно, существует движение, при котором луч $$h$$ отображается на луч $$h_1$$.

Ответ: да.

Ход решения

Пусть $$ABCD$$ — квадрат, вписанный в окружность радиуса $$R$$, а $$A_1B_1C_1$$ — правильный треугольник, также вписанный в окружность радиуса $$R$$.

Для квадрата диагональ равна диаметру окружности:

$$AC=2R.$$

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то

$$AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{2R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2}.$$

Для правильного треугольника радиус описанной окружности выражается формулой

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}},$$

где $$a$$ — сторона треугольника. Значит,

$$A_1B_1=R\sqrt{3}.$$

Тогда

$$AB+A_1B_1=R\sqrt{2}+R\sqrt{3}=R(\sqrt{2}+\sqrt{3}).$$

Длина полуокружности радиуса $$R$$ равна

$$\frac{1}{2}\cdot 2\pi R=\pi R.$$

Сравним числа $$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$ и $$\pi$$:

$$\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 1{,}414+1{,}732=3{,}146,$$

$$\pi\approx 3{,}142.$$

Разность составляет примерно

$$3{,}146-3{,}142=0{,}004,$$

то есть меньше $$0{,}01.$$ Следовательно,

$$AB+A_1B_1$$ отличается от длины полуокружности $$\pi R$$ менее чем на $$0{,}01R.$$

Ответ

$$AB+A_1B_1\approx \pi R$$ с точностью до $$0{,}01R.$$