Упр.1286 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите симметрии фигуры F, данной на рисунке 377.
- Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.
Пусть $$\angle A=a,\quad \angle B=2a,\quad \angle C=4a.$$ Тогда
$$a+2a+4a=180^\circ,$$
откуда
$$a=\frac{180^\circ}{7},\quad \angle B=\frac{360^\circ}{7},\quad \angle C=\frac{720^\circ}{7}.$$
Внутренний угол правильного семиугольника равен
$$180^\circ-\frac{360^\circ}{7}=\frac{900^\circ}{7}.$$
Обозначим середины сторон $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$ через $$A_1,\ B_1,\ C_1,$$ а основания высот через $$M,\ N,\ P.$$ Тогда $$MN,\ NP,\ PM$$ — средние линии треугольника $$ABC,$$ значит,
$$MN=\frac12\,BC,\quad NP=\frac12\,AC,\quad PM=\frac12\,AB.$$
Рассмотрим четырёхугольник $$BA_1CC_1.$$ У него
$$\angle BA_1C=\angle BC_1A=90^\circ,$$
следовательно, вокруг него можно описать окружность, причём её диаметр равен $$BC.$$ Тогда
$$PB=PC_1=PC=PA_1=\frac12\,BC.$$
Кроме того,
$$\angle C_1PA_1=2\angle C_1BA_1=2(90^\circ-\angle A)=2\left(90^\circ-\frac{180^\circ}{7}\right)=\frac{900^\circ}{7}.$$
Значит, четырёхугольник $$C_1PNM$$ — равнобедренная трапеция, а
$$\angle PCM=\angle NMC=180^\circ-\angle B=180^\circ-\frac{360^\circ}{7}=\frac{900^\circ}{7}.$$
Аналогично для четырёхугольника $$AB_1CC_1$$ получаем, что вокруг него можно описать окружность с диаметром $$AC,$$ поэтому
$$NC=NB_1=NA=NC_1=\frac12\,AC.$$
Так как $$PM=\frac12\,AC,$$ то
$$\triangle B_1CN \cong \triangle B_1PN$$
по двум сторонам и углу между ними, откуда
$$PB_1=NB=\frac12\,AC.$$
Следовательно,
$$\triangle PA_1B_1 \cong \triangle NMC_1,$$
и потому
$$\angle PA_1B_1=\frac{900^\circ}{7}.$$
Итак, все стороны многоугольника, соединяющего точки $$B_1,\ A_1,\ P,\ C_1,\ M,\ N,$$ равны, а все его углы равны внутреннему углу правильного семиугольника. Значит, эти шесть точек являются вершинами правильного семиугольника.
