Упр.1285 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Постройте квадрат, если даны его центр и две точки, лежащие на прямых, содержащих параллельные стороны квадрата.
Пусть $$M$$ — произвольная точка, лежащая внутри правильного $$n$$-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки $$M$$ к прямым, содержащим стороны $$n$$-угольника, равна $$nr$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности.

Подробный ответ

Обозначим через $$M_1, M_2, \ldots, M_n$$ основания перпендикуляров, опущенных из точки $$M$$ на прямые, содержащие стороны правильного $$n$$-угольника.

Площадь правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$ и радиусом вписанной окружности $$r$$ равна

$$S_n=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot na\cdot r=\frac{1}{2}nar.$$

С другой стороны, этот же многоугольник можно разбить на $$n$$ треугольников с общей вершиной в точке $$M$$:

$$S_n=S_{A_1A_2M}+S_{A_2A_3M}+\cdots+S_{A_nA_1M}.$$

Каждый из этих треугольников имеет основание, равное стороне правильного многоугольника, и высоту, равную соответствующему перпендикуляру:

$$S_{A_1A_2M}=\frac{1}{2}a\cdot MH_1,\quad S_{A_2A_3M}=\frac{1}{2}a\cdot MH_2,\quad \ldots,\quad S_{A_nA_1M}=\frac{1}{2}a\cdot MH_n.$$

Тогда

$$S_n=\frac{1}{2}a(MH_1+MH_2+\cdots+MH_n).$$

Приравнивая два выражения для площади, получаем:

$$\frac{1}{2}nar=\frac{1}{2}a(MH_1+MH_2+\cdots+MH_n).$$

Сокращая на $$\frac{1}{2}a$$, имеем

$$MH_1+MH_2+\cdots+MH_n=nr.$$