Упр.1281 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1281. Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что отрезки прямых, заключённые внутри квадрата, равны. Около правильного пятиугольника А1А2А3А4А5 описана окружность с центром О. Вершинами треугольника ABC являются середины сторон А1А2, А2А3 и А3А4 пятиугольника. Докажите, что центр О данной окружности и центр О1 окружности, вписанной в треугольник ABC, симметричны относительно прямой АС.

Подробный ответ

Решение

Обозначим через $$O$$ центр квадрата $$ABCD$$. Тогда $$AO=BO=CO=DO$$, а диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $$O$$, значит $$AC \perp BD$$.

Пусть прямые $$EF$$ и $$GH$$ проходят через $$O$$ и перпендикулярны друг другу. Тогда углы между каждой из этих прямых и диагоналями квадрата равны $$45^\circ$$, поэтому

$$\angle AOE=\angle BOG=45^\circ,$$

а также $$AO=BO$$. Следовательно, треугольники $$\triangle AOE$$ и $$\triangle BOG$$ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда

$$OE=OG.$$

По симметрии квадрата относительно центра $$O$$ точки $$E$$ и $$F$$, а также $$G$$ и $$H$$ переходят друг в друга, поэтому

$$OE=OF,\qquad OG=OH.$$

Тогда

$$EF=2OE,\qquad GH=2OG.$$

Так как $$OE=OG$$, получаем

$$EF=GH.$$

Ответ: $$EF=GH$$.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →