Упр.1281 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что отрезки прямых, заключённые внутри квадрата, равны.
- Около правильного пятиугольника $$A_1A_2A_3A_4A_5$$ описана окружность с центром $$O$$. Вершинами треугольника $$ABC$$ являются середины сторон $$A_1A_2$$, $$A_2A_3$$ и $$A_3A_4$$ пятиугольника. Докажите, что центр $$O$$ данной окружности и центр $$O_1$$ окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, симметричны относительно прямой $$AC$$.
Обозначим сторону правильного пятиугольника через $$a$$.
Тогда его диагональ равна $$\varphi a$$, где $$\varphi$$ — золотое отношение, а в правильном пятиугольнике угол между соседними радиусами равен $$72^\circ$$. Рассмотрим треугольник $$ABC$$, где $$A, B, C$$ — середины сторон $$A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4$$ соответственно.
Так как $$A_2A = A_2B = A_3B = A_3C = \dfrac{a}{2}$$ и $$\angle A_2AB = \angle BA_3C = 108^\circ$$, то
$$\triangle AA_2B \cong \triangle BA_3C,$$
откуда $$AB = BC$$. Значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$.
Найдём углы этого треугольника. Так как $$\angle A_2BA_3 = 108^\circ$$, то
$$\angle ABC = 180^\circ — 2\angle A_2BA = 180^\circ — (180^\circ — 108^\circ) = 108^\circ.$$
Следовательно,
$$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ — 108^\circ}{2} = 36^\circ.$$
Проведём диагональ $$BA_5$$ и обозначим через $$M$$ точку её пересечения с прямой $$AC$$. В правильном пятиугольнике $$A_2A_5A_3$$ треугольник равнобедренный, поэтому $$BM$$ — медиана, биссектриса и высота. Значит, $$BM \perp AC$$.
Центр описанной окружности $$O$$ лежит на диагонали $$BA_5$$, а центр вписанной окружности $$O_1$$ треугольника $$ABC$$ лежит на биссектрисе угла $$B$$, то есть тоже на $$BA_5$$. Поэтому точки $$O$$ и $$O_1$$ лежат на одной прямой $$BA_5$$.
Теперь рассмотрим углы при этой прямой. Так как центральный угол правильного пятиугольника равен $$72^\circ$$, то
$$\angle AOB = \angle A_1OA_2 = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ.$$
Кроме того, поскольку $$O_1A$$ — биссектриса угла $$A$$ треугольника $$ABC$$, имеем
$$\angle O_1AC = \frac{1}{2}\angle BAC = 18^\circ.$$
Тогда
$$\angle AO_1M = 90^\circ — \angle O_1AC = 72^\circ.$$
Следовательно, прямые $$AO$$ и $$AO_1$$ образуют с прямой $$AC$$ равные углы, а значит, прямая $$AC$$ является осью симметрии для точек $$O$$ и $$O_1$$. Итак, точки $$O$$ и $$O_1$$ симметричны относительно прямой $$AC$$.
