Упр.1280 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Постройте фигуру, обладающую поворотной симметрией, составленную из равных а) равносторонних треугольников; б) ромбов.
- Докажите, что отрезок АК, изображённый на рисунке 371, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.
Пусть $$O$$ — центр окружности, $$OA=OB=R$$, $$\angle AOB=90^\circ$$. Точка $$C$$ лежит на $$OB$$ и $$CB=CO=\frac{R}{2}$$, значит $$C$$ — середина отрезка $$OB$$. Точка $$K$$ — точка пересечения отрезка $$AC$$ с окружностью.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOC$$. Так как $$OA=R$$, $$OC=\frac{R}{2}$$, то по теореме Пифагора
$$AC^2=OA^2+OC^2=R^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{5R^2}{4},$$
откуда
$$AC=\frac{R\sqrt5}{2}.$$
Поскольку точка $$K$$ лежит на отрезке $$AC$$ и на окружности, то $$OK=R$$. Кроме того, $$CK=OC=\frac{R}{2}$$, поэтому
$$AK=AC-CK=\frac{R\sqrt5}{2}-\frac{R}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$
Сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса $$R$$, равна
$$2R\sin 18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$
Следовательно, $$AK$$ равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром $$O$$.
Ответ: $$AK=\frac{\sqrt5-1}{2}R$$.
