Упр.1277 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Существует ли многоугольник, имеющий ровно два центра симметрии? Ответ обоснуйте.
2. В остроугольном треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB$$ больше стороны $$BC$$, отрезки $$AM$$ и $$CN$$ — высоты треугольника, точка $$O$$ — центр описанной окружности. Угол $$ABC$$ равен $$Р$$, а площадь четырёхугольника $$NOMB$$ равна $$S$$. Найдите сторону $$AC$$.

Предположим, что у многоугольника есть ровно два центра симметрии: $$O_1$$ и $$O_2$$.

Тогда симметрия относительно точки $$O_2$$ переводит центр симметрии $$O_1$$ в некоторую точку $$O_3$$. Поскольку при центральной симметрии сохраняются все расстояния, образ центра симметрии снова является центром симметрии многоугольника.

При этом точки $$O_1$$, $$O_2$$ и $$O_3$$ различны: если бы $$O_3=O_1$$, то точка $$O_1$$ была бы серединой отрезка $$O_1O_2$$, что невозможно при $$O_1\ne O_2$$.

Значит, из двух центров симметрии обязательно получается третий. Это противоречит предположению, что центров симметрии ровно два.

Следовательно, многоугольника, имеющего ровно два центра симметрии, не существует.

Ответ: нет.