Упр.1276 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Задание учебника 2025 года. Приведите примеры фигур, имеющих бесконечно много центров симметрии.
Задание учебника 2023 года. В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ меньшее основание $$AD$$ равно $$3$$, а боковая сторона $$CD$$, не перпендикулярная к основаниям, равна $$6$$. Точка $$E$$ — середина отрезка $$CD$$, угол $$CBE$$ равен $$\alpha$$. Найдите площадь трапеции $$ABCD$$.
Опустим перпендикуляры $$DH\perp BC$$ и $$EK\perp BC$$, где $$H,K\in BC$$.
Тогда $$\angle DHC=\angle EKC=90^\circ$$, а $$\angle DCH=\angle ECK$$, значит, $$\triangle DHC\sim\triangle EKC$$.
Из подобия получаем
$$\frac{DH}{EK}=\frac{DC}{EC}.$$
Так как $$E$$ — середина $$CD$$, то $$EC=\frac{CD}{2}=3$$, следовательно, коэффициент подобия равен $$2$$, и потому
$$DH=2EK.$$
Обозначим $$HK=x$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$EKC$$:
$$EK=\sqrt{EC^2-KC^2}=\sqrt{3^2-x^2}=\sqrt{9-x^2}.$$
Из прямоугольного треугольника $$BCE$$, где $$\angle CBE=\alpha$$, имеем
$$\tan\alpha=\frac{EK}{BK}=\frac{EK}{BC-x}.$$
Так как $$BC=AD+HK=3+x$$, то $$BK=3+x$$. Следовательно,
$$EK=(3+x)\tan\alpha.$$
Тогда
$$\sqrt{9-x^2}=(3+x)\tan\alpha.$$
Возведём в квадрат:
$$9-x^2=(3+x)^2\tan^2\alpha.$$
Решая это уравнение относительно $$x$$, получаем
$$x=3\cos 2\alpha.$$
Тогда
$$EK=\sqrt{9-9\cos^2 2\alpha}=3\sin 2\alpha,$$
а значит,
$$h=DH=2EK=6\sin 2\alpha.$$
Площадь трапеции равна сумме площадей прямоугольника $$ADHB$$ и треугольника $$DCH$$:
$$S=AD\cdot h+\frac12\cdot HC\cdot h=h\left(AD+\frac{HC}{2}\right).$$
Так как $$HC=BC-BH=(3+x)-x=3$$, то
$$S=6\sin 2\alpha\left(3+\frac{3}{2}\right)=18\sin 2\alpha(1+\cos 2\alpha).$$
Ответ: $$18\sin 2\alpha(1+\cos 2\alpha)$$.
