Упр.1275 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.
2. Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.

Пусть четырёхугольник $$ABCD$$ имеет центр симметрии $$O$$. Тогда при центральной симметрии относительно точки $$O$$ вершина $$A$$ переходит в $$C$$, а вершина $$B$$ — в $$D$$. Значит, точка $$O$$ является серединой отрезков $$AC$$ и $$BD$$, то есть диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся пополам.

Но если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ: четырёхугольник с центром симметрии является параллелограммом.