Упр.1274 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Например, не имеет симметрий тот многоугольник, все стороны которого различны, так как ни одна из сторон не может отображаться на другую сторону. Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле S = корень(p -a)(p -b)(p -c)(p-d), где р — полупериметр, а, b, с, d — стороны четырёхугольника.

Пусть $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник, $$AB=a,$$ $$BC=b,$$ $$CD=c,$$ $$AD=d,$$ а $$p=\dfrac{a+b+c+d}{2}$$ — полупериметр.

Обозначим диагональ $$BD$$. Тогда по свойству вписанного четырёхугольника

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

По теореме косинусов для треугольников $$ABD$$ и $$BCD$$:

$$BD^2=a^2+d^2-2ad\cos A,$$

$$BD^2=b^2+c^2-2bc\cos C.$$

Так как $$\cos C=\cos(180^\circ-A)=-\cos A,$$ то

$$a^2+d^2-2ad\cos A=b^2+c^2+2bc\cos A.$$

Отсюда

$$2(ad+bc)\cos A=a^2+d^2-b^2-c^2,$$

$$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}.$$

Найдём $$\sin A$$:

$$\sin^2 A=1-\cos^2 A=1-\left(\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\right)^2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \sin^2 A= \frac{4(ad+bc)^2-(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{4(ad+bc)^2}. $$

Числитель раскладывается на множители:

$$ 4(ad+bc)^2-(a^2+d^2-b^2-c^2)^2 = \bigl((b+c)^2-(a-d)^2\bigr)\bigl((a+d)^2-(b-c)^2\bigr). $$

Следовательно,

$$ \sin^2 A= \frac{(a+b+c-d)(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)}{4(ad+bc)^2}. $$

Так как $$P=a+b+c+d=2p,$$ получаем

$$ \sin^2 A= \frac{(P-2a)(P-2b)(P-2c)(P-2d)}{4(ad+bc)^2} = \frac{4(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{(ad+bc)^2}. $$

Значит,

$$ \sin A=\frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ad+bc}. $$

Теперь найдём площадь четырёхугольника как сумму площадей треугольников $$ABD$$ и $$BCD$$:

$$ S=S_{ABD}+S_{BCD} =\frac12 ad\sin A+\frac12 bc\sin C. $$

Но $$\sin C=\sin(180^\circ-A)=\sin A,$$ поэтому

$$ S=\frac12(ad+bc)\sin A. $$

Подставим найденное значение $$\sin A$$:

$$ S=\frac12(ad+bc)\cdot \frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ad+bc} =\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}. $$

Тем самым доказано, что площадь вписанного четырёхугольника выражается формулой

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$

Ответ

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$