Упр.1274 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Приведите пример многоугольника, не имеющего симметрий.
- Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле $$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$, где $$p$$ — полупериметр, а $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ — стороны четырёхугольника.
Обозначим стороны вписанного четырёхугольника $$ABCD$$ так: $$AB=a,\ BC=b,\ CD=c,\ AD=d,$$ а его полупериметр — $$p=\frac{a+b+c+d}{2}.$$
Так как четырёхугольник вписан в окружность, то
$$\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ.$$
Рассмотрим диагональ $$BD$$. По теореме косинусов в треугольниках $$ABD$$ и $$BCD$$ получаем:
$$BD^2=a^2+d^2-2ad\cos A,$$
$$BD^2=b^2+c^2-2bc\cos C.$$
Так как $$\angle C=180^\circ-\angle A,$$ то $$\cos C=-\cos A.$$ Тогда
$$a^2+d^2-2ad\cos A=b^2+c^2+2bc\cos A,$$
$$2(ad+bc)\cos A=a^2+d^2-b^2-c^2,$$
$$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}.$$
Теперь найдём $$\sin A$$:
$$\sin^2 A=1-\cos^2 A=1-\left(\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\right)^2.$$
После преобразований получаем
$$\sin^2 A=\frac{(a+b+c-d)(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)}{4(ad+bc)^2}.$$
Так как $$P=a+b+c+d=2p,$$ то
$$\sin^2 A=\frac{4(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{(ad+bc)^2},$$
$$\sin A=\frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ad+bc}.$$
Площадь четырёхугольника равна сумме площадей треугольников $$ABD$$ и $$BCD$$:
$$S=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac12 ad\sin A+\frac12 bc\sin C.$$
Но $$\sin C=\sin(180^\circ-A)=\sin A,$$ значит
$$S=\frac12(ad+bc)\sin A.$$
Подставим найденное значение $$\sin A$$:
$$S=\frac12(ad+bc)\cdot \frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ad+bc}.$$
Следовательно,
$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$
Ответ
$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$
