Упр.1273 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите симметрии: а) правильного пятиугольника; б) правильного шестиугольника; в) правильного $$n$$-угольника.
- Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхугольника через его стороны.
У правильного пятиугольника осей симметрии столько же, сколько сторон, то есть $$5$$. Каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны. Кроме того, правильный пятиугольник имеет поворотную симметрию вокруг центра на угол $$\frac{360^\circ}{5}=72^\circ$$, а также на $$144^\circ$$, $$216^\circ$$ и $$288^\circ$$.
У правильного шестиугольника $$6$$ осей симметрии: $$3$$ из них проходят через противоположные вершины, а $$3$$ — через середины противоположных сторон. Он имеет поворотную симметрию вокруг центра на угол $$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$$, а также на $$120^\circ$$, $$180^\circ$$, $$240^\circ$$ и $$300^\circ$$. Центр правильного шестиугольника является центром симметрии.
У правильного $$n$$-угольника число осей симметрии равно $$n$$. Если $$n$$ нечётно, каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны. Если $$n$$ чётно, половина осей проходит через противоположные вершины, а половина — через середины противоположных сторон. При чётном $$n$$ правильный $$n$$-угольник имеет центр симметрии. Также он обладает поворотной симметрией вокруг центра на угол $$\frac{360^\circ}{n}$$ и на все кратные ему углы.
Ответ: а) $$5$$ осей симметрии и поворотная симметрия на $$72^\circ$$; б) $$6$$ осей симметрии, центр симметрии и поворотная симметрия на $$60^\circ$$; в) $$n$$ осей симметрии, а при чётном $$n$$ — ещё центр симметрии и поворотная симметрия на $$\frac{360^\circ}{n}$$.
