Упр.1272 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

У правильного n-угольника имеется ровно n осей симметрии, при четном n это прямые, проходящие через противоположные вершины, а также серединные перпендикуляры сторон фигуры, при нечетном n это прямые, проходящие через вершину и середину противоположной ей стороны.
Ответ: n.
Докажите, что в треугольнике ABC биссектриса АА1 вычисляется по формуле АА1 = 2bccosA/22b+c, где b=АС, c= АВ.

Обозначим $$S_{\triangle ABC}$$ площадь треугольника $$ABC$$. Тогда

$$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABA_1}+S_{\triangle ACA_1}.$$

По формуле площади через две стороны и синус угла получаем:

$$S_{\triangle ABC}=\frac12 bc\sin A,$$

$$S_{\triangle ABA_1}=\frac12 \cdot AA_1 \cdot c \cdot \sin\frac{A}{2},$$

$$S_{\triangle ACA_1}=\frac12 \cdot AA_1 \cdot b \cdot \sin\frac{A}{2}.$$

Складывая площади, имеем:

$$\frac12 bc\sin A=\frac12 AA_1c\sin\frac{A}{2}+\frac12 AA_1b\sin\frac{A}{2}.$$

Вынесем $$AA_1\sin\frac{A}{2}$$ за скобки:

$$\frac12 bc\sin A=\frac12 AA_1(b+c)\sin\frac{A}{2}.$$

Умножим обе части на $$2$$ и выразим $$AA_1$$:

$$AA_1=\frac{bc\sin A}{(b+c)\sin\frac{A}{2}}.$$

Так как $$\sin A=2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2},$$ то

$$AA_1=\frac{bc\cdot 2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}}{(b+c)\sin\frac{A}{2}}=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AA_1=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}.$$