Упр.1271 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1271. Найдите симметрии а) параллелограмма; б) прямоугольника; в) ромба; г) равнобедренной трапеции. Докажите, что площадь S произвольного четырёхугольника со сторонами а, b, с, d (последовательно) удовлетворяет неравенству S<1/2(ас + bd).

а) У параллелограмма центром симметрии является точка пересечения его диагоналей. При повороте на $$180^\circ$$ вокруг этой точки параллелограмм совмещается сам с собой.

б) У прямоугольника центром симметрии также является точка пересечения диагоналей. Кроме того, прямоугольник имеет две оси симметрии — прямые, проходящие через середины противоположных сторон и через центр прямоугольника.

в) У ромба центром симметрии является точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба являются его осями симметрии.

г) У равнобедренной трапеции осью симметрии является прямая, перпендикулярная основаниям и проходящая через их середины.

Докажем неравенство $$S<\frac12(ac+bd)$$ для произвольного четырёхугольника со сторонами $$a,b,c,d$$.

Пусть диагональ $$AC$$ делит четырёхугольник $$ABCD$$ на треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. Тогда

$$S=S_{ABC}+S_{ADC}=\frac12ab\sin\angle B+\frac12cd\sin\angle D.$$

Так как $$\sin\angle B\le 1$$ и $$\sin\angle D\le 1$$, то

$$S\le \frac12(ab+cd).$$

Теперь рассмотрим разность:

$$ \frac12(ab+cd)-\frac12(ac+bd) =\frac12\bigl(ab+cd-ac-bd\bigr) =\frac12(a-d)(b-c). $$

Следовательно, при подходящем расположении сторон можно записать

$$ S\le \frac12(ab+cd)\le \frac12(ac+bd). $$

Значит, для любого четырёхугольника выполняется

$$S<\frac12(ac+bd).$$

Неравенство строгое, так как равенство $$\sin\angle B=1$$ и $$\sin\angle D=1$$ одновременно для произвольного четырёхугольника невозможно.

Ответ

а) Центр симметрии — точка пересечения диагоналей; б) центр симметрии — точка пересечения диагоналей, оси симметрии — две прямые через середины противоположных сторон; в) центр симметрии — точка пересечения диагоналей, оси симметрии — диагонали; г) одна ось симметрии — прямая через середины оснований, перпендикулярная им. Кроме того, $$S<\frac12(ac+bd)$$.